1
الدوال كثيرات الحدود: الدرجة، والدالة الثابتة، والدالة الصفرية، وما هو صفر الدالة
Mathematics Prep 3 Term 1, Unit 2, Lesson 2
Goalأحدد هل القاعدة دالة كثيرة حدود وأذكر درجتها، وأتحقق هل العدد صفر للدالة.
New words
دالة كثيرة الحدود · دالة أسسها أعداد صحيحة غير سالبة، ودرجتها أعلى أس يظهردرجة الدالة · أعلى أس للمتغير معامله لا يساوي صفرًاالدالة الثابتة · مثل f(x) = ٧ درجتها صفر؛ والدالة الصفرية f(x) = ٠ ليس لها درجةصفر الدالة · العدد a الذي يحقق f(a) = ٠
Explanation
دالة كثيرة الحدود مجموع حدود كل منها عدد × xⁿ حيث الأس n يساوي ٠ أو ١ أو ٢ أو ٣ … (عدد صحيح غير سالب). ودرجتها هي أعلى أس: ٣x − ٦ خطية (درجة ١)، وx² − x تربيعية (درجة ٢)، و٢x³ + x تكعيبية (درجة ٣)، والعدد ٩ دالة ثابتة درجتها صفر. أما الدالة الصفرية f(x) = ٠ فليس لها درجة. والقواعد ١ ÷ x و√x و٢ˣ ليست كثيرات حدود، لأن x في مقام أو تحت جذر أو في أس. وصفر الدالة f عدد a يحقق f(a) = ٠. وتعني العبارات الثلاث الشيء نفسه: a صفر للدالة f؛ x = a حل للمعادلة f(x) = ٠؛ و(x − a) عامل من عوامل f(x). مثلًا x² − ٧x + ١٠ = (x − ٢)(x − ٥) فصفراها ٢ و٥.
| القاعدة | كثيرة حدود؟ | الدرجة |
|---|---|---|
| ٣x − ٦ | نعم | ١ |
| ٢x³ + x | نعم | ٣ |
| ٩ | نعم | ٠ |
| ١ ÷ x | لا | – |
| √x | لا | – |
| ٢ˣ | لا | – |
Worked examples
حدد أيها دالة كثيرة حدود واذكر درجتها: ٤x² − x، ٧، x⁻² + ١، ٥x⁴ + ٣x. ٤x² − x كثيرة حدود من الدرجة ٢. و٧ كثيرة حدود من الدرجة ٠. وx⁻² + ١ ليست كذلك لأن −٢ ليس عددًا صحيحًا غير سالب (إنها ١ ÷ x² + ١). و٥x⁴ + ٣x كثيرة حدود من الدرجة ٤.
أي الأعداد ٢ و−٢ و١ أصفار للدالة f(x) = x³ − ٤x؟ f(٢) = ٨ − ٨ = ٠ ✓. f(−٢) = −٨ + ٨ = ٠ ✓. f(١) = ١ − ٤ = −٣ ليست صفرًا. إذن ٢ و−٢ صفران للدالة و١ ليس صفرًا.
قارن بين g(x) = ٥ وh(x) = ٠. g(x) = ٥ لا تساوي صفرًا أبدًا فلا أصفار لها (مجموعة أصفارها ∅). أما h(x) = ٠ فهي صفر لكل x فكل عدد حقيقي صفر لها (مجموعة أصفارها R).
Class activity
جرّب واكتشف. للدالة f(x) = x³ − ٦x² + ١١x − ٦ جرّب x = ١, ٢, ٣, ٤. أيها أصفار؟ ثم تحقق أن f(x) = (x − ١)(x − ٢)(x − ٣) بالفك.
Practice
1
ما درجة الدالة f(x) = ٧x⁴ − x² + ٣؟
أعلى أس ٤ إذن الدرجة ٤.
2
هل f(x) = ٣x² + √x دالة كثيرة حدود؟ لماذا؟
لا. √x = x^(١/٢) والعدد ١/٢ ليس عددًا صحيحًا.
3
هل ٣ صفر للدالة f(x) = x² − ٢x − ٣؟
f(٣) = ٩ − ٦ − ٣ = ٠ إذن نعم.
4
هل −١ صفر للدالة f(x) = x³ + ٢x² − x − ١؟
f(−١) = −١ + ٢ + ١ − ١ = ١ وليس ٠. إذن لا.
5
اذكر مجموعة أصفار f(x) = ٩ ومجموعة أصفار f(x) = ٠.
للدالة f(x) = ٩ هي ∅. وللدالة f(x) = ٠ هي R.