Week 8 · Similarity of triangles: the AA, SSS and SAS cases, right triangles and real heights · 3 lessons
1
المثلثات المتشابهة: حالة الزاويتين (AA)
Mathematics Prep 3 Term 1, Unit 3, Lesson 2
Goalأثبت تشابه مثلثين إذا ساوت زاويتان في أحدهما زاويتين في الآخر، وأستخدم التشابه لإيجاد أطوال.
New words
حالة AA · يتشابه المثلثان إذا ساوت زاويتان في أحدهما زاويتين في الآخرالزاويتان المتبادلتان · زاويتان متساويتان في جهتين مختلفتين من قاطع لمستقيمين متوازيينالزاويتان المتقابلتان بالرأس · زاويتان متساويتان تتقابلان حيث يتقاطع مستقيمانالأضلاع المتناظرة · الأضلاع التي تقابل الزوايا المتساوية
Explanation
في المثلثات يكفي اختبار أقصر من فحص كل شيء. إذا ساوت زاويتان في مثلث زاويتين في مثلث آخر فإن الزاويتين الثالثتين متساويتان أيضًا لأن مجموع زوايا المثلث ١٨٠°. فيكون للمثلثين الشكل نفسه: متشابهان وأضلاعهما المتناظرة متناسبة. هذه حالة AA، وتظهر كثيرًا مع المستقيمات المتوازية. ففي المثلث ABC إذا كان DE ∥ BC (D على AB وE على AC) فإن ∠ADE = ∠ABC و∠AED = ∠ACB (زاويتان متناظرتان) والزاوية A مشتركة، فيكون △ADE ~ △ABC. وإذا تقاطع المستقيمان AC وBD في E وكان AB ∥ CD فالزاويتان المتبادلتان متساويتان والزاويتان المتقابلتان بالرأس عند E متساويتان، فيكون △ABE ~ △CDE. نكتب التشابه برؤوس مرتبة بالتناظر ثم نستخدم النسب المتساوية.
Worked examples
في الشكل DE ∥ BC وAD = ٦ وDB = ٣ وEC = ٤ وBC = ١٥. أوجد AE وDE. من DE ∥ BC نجد ∠ADE = ∠ABC والزاوية A مشتركة، فـ△ADE ~ △ABC (AA). AB = ٦ + ٣ = ٩ إذن k = AD ÷ AB = ٦/٩ = ٢/٣. ثم AE ÷ AC = ٢/٣ حيث AC = AE + ٤: ٣AE = ٢AE + ٨ فـAE = ٨. وDE ÷ BC = ٢/٣ فـDE = ١٥ × ٢/٣ = ١٠. تحقق: ٨ ÷ ١٢ = ٢/٣ ✓
نسخ الزوايا. ارسم مثلثًا زاويتاه ٤٠° و٧٠°. وارسم مثلثًا ثانيًا أكبر بالزاويتين نفسيهما. قِس كل الأضلاع في المثلثين وتحقق أن النسب الثلاث للأضلاع المتناظرة متساوية (بفارق لا يتجاوز مليمترًا).
Practice
1
المثلثان ABC وDEF: ∠A = ∠D = ٥٠° و∠B = ٦٠° و∠F = ٧٠°. أي رأس في DEF يناظر B؟
