3
قراءة الأصفار من الرسم، وإيجاد معامل مجهول من f(a) = ٠
Mathematics Prep 3 Term 1, Unit 2, Lesson 2
Goalأقرأ أصفار الدالة من نقاط تقاطع منحناها مع محور السينات، وأوجد معاملًا مجهولًا من صفر معطى.
New words
المقطع السيني · نقطة يقطع فيها المنحنى محور السينات، وإحداثيها السيني صفر للدالةالقطع والمماسة · قد يقطع المنحنى المحور أو يمسه فقط، وكل منهما يعطي صفرًا واحدًامعامل مجهول · حرف مثل b أو k في القاعدة نوجده من معلومات أخرىيعوّض · يضع عددًا مكان x لإيجاد قيمة
Explanation
يقطع منحنى y = f(x) محور السينات تمامًا حيث y = ٠ أي حيث f(x) = ٠. إذن أصفار f هي الإحداثيات السينية للنقاط التي يقطع المنحنى عندها محور السينات أو يمسه، وعدد الأصفار المختلفة يساوي عدد هذه النقاط. والمنحنى الذي لا يقابل المحور مجموعة أصفاره خالية. وفي الاتجاه المعاكس يخبرنا الصفر شيئًا عن القاعدة: إذا كان a صفرًا للدالة f فإن f(a) = ٠، وعندما تحتوي القاعدة حرفًا مجهولًا نحصل على معادلة له. مثال: إذا كان ٢ صفرًا للدالة x² + bx − ١٠ فإن ٤ + ٢b − ١٠ = ٠ ومنه b = ٣.
Worked examples
يقطع المنحنى في الصورة محور السينات عند −٢ و٠ و٣. اكتب مجموعة الأصفار. الأصفار هي الإحداثيات السينية لنقاط التقاطع: {−٢, ٠, ٣}. عدد الأصفار المختلفة ٣.
اقرأ أصفار y = x² − ٤ من منحناها. يقطع المنحنى المحور عند −٢ و٢ فالمجموعة {−٢, ٢}. أما المنحنى الذي يمس المحور فقط، مثل y = (x − ٢)²، فله صفر واحد ومجموعته {٢}.
العدد ٢ صفر للدالة f(x) = x² + bx − ١٠. أوجد b والصفر الآخر وf(٤). من f(٢) = ٠: ٤ + ٢b − ١٠ = ٠ إذن b = ٣ وf(x) = x² + ٣x − ١٠ = (x + ٥)(x − ٢). الصفر الآخر −٥. وأيضًا f(٤) = ١٦ + ١٢ − ١٠ = ١٨.
Class activity
المحقق في الأصفار. اختر عددين مثل ١ و٦. كوّن دالة تربيعية صفراها هذان العددان: (x − ١)(x − ٦). فُكّها ثم تحقق أن العددين يعطيان ٠. بادل صديقك دالتك ليجد أصفارها.
Practice
1
يقطع منحنى محور السينات عند x = −٤, ١, ٢. اكتب مجموعة أصفاره وعدد الأصفار المختلفة.
{−٤, ١, ٢}: ثلاثة أصفار مختلفة.
2
العدد ٣ صفر للدالة f(x) = x² − kx + ٦. أوجد k والصفر الآخر.
٩ − ٣k + ٦ = ٠ إذن k = ٥. ثم x² − ٥x + ٦ = (x − ٢)(x − ٣): الصفر الآخر ٢.
3
صفرا الدالة f(x) = x² + bx + c هما −١ و٤. أوجد b وc.
f(x) = (x + ١)(x − ٤) = x² − ٣x − ٤. إذن b = −٣ وc = −٤.
4
العدد ٢ صفر للدالة f(x) = ٢x² + bx − ٦. أوجد b وf(٣).
٨ + ٢b − ٦ = ٠ إذن b = −١. f(٣) = ١٨ − ٣ − ٦ = ٩.
5
منحنى y = (x − ٢)² يمس محور السينات في نقطة واحدة. ما مجموعة أصفار (x − ٢)²؟
(x − ٢)² = ٠ تعطي x = ٢ فقط، إذن المجموعة {٢}.