Week 14 · Graphs of the sine and cosine functions, and finding an angle from one of its ratios · 3 lessons
2
منحنى دالة جيب التمام والمنحنيان y = a sin θ وy = a cos θ: السعة والمدى ونموذج عمق الماء
Mathematics Sec 1 Term 1, Unit 4, Lessons 5–6
Goalأرسم y = cos θ وأجد سعة y = a sin θ وأستخدمها في نموذج لعمق الماء.
New words
السعة · نصف المسافة بين أعلى قيمة وأدنى قيمة، وهي |a| في y = a sin θدالة دورية · دالة يتكرر منحناها بعد دورة ثابتة
Explanation
منحنى y = cos θ هو الموجة نفسها لكنه يبدأ من قيمته العظمى: cos ٠ = ١ ثم ٠ عند π/٢ و−١ عند π و٠ عند ٣π/٢ و١ عند ٢π. مجاله كل الأعداد الحقيقية ومداه [−١, ١] ودورته ٢π. والمنحنى متماثل حول محور y لأن cos(−θ) = cos θ. في y = a sin θ وy = a cos θ يمد العدد a الموجة إلى أعلى وأسفل: السعة |a| والمدى [−|a|, |a|] وتبقى الدورة ٢π. وإذا كان a سالبًا قُلبت الموجة أيضًا رأسًا على عقب. نموذج الموجة: سطح الماء في حوض موجات يرتفع وينخفض بحيث يكون ارتفاعه فوق المستوى الهادئ h = ٠٫٤ sin θ مترًا. السعة ٠٫٤ م، فمع عمق هادئ ٢ م يتراوح العمق بين ٢ − ٠٫٤ = ١٫٦ م و٢ + ٠٫٤ = ٢٫٤ م.
للمنحنى y = −٢ sin θ سعة |−٢| = ٢ ومدى [−٢, ٢]. وبالمقارنة مع y = ٢ sin θ هو مقلوب: ينزل أولًا.
ƒFormula
h = 0.4 sin θ
ارتفاع سطح الماء فوق مستواه الهادئ بالأمتار؛ والعمق يساوي ٢ + h
حوض الموجات: h = ٠٫٤ sin θ م مع θ = (π/٣)t وt بالثواني. الدورة ٢π ÷ (π/٣) = ٦ ث. عند t = ١٫٥ ث تكون θ = π/٢ وh = ٠٫٤ م فالعمق ٢٫٤ م وهو الأعظم. وعند t = ٤٫٥ ث تكون θ = ٣π/٢ والعمق ١٫٦ م وهو الأصغر.
Class activity
موجة الحبل. اربط حبلًا طويلًا بعمود وأمسك طرفه الآخر وحرّكه لأعلى وأسفل لتصنع موجات. قس ارتفاع القمة فوق خط السكون (السعة) والبعد بين قمتين. حرّك بقوة أكبر ولاحظ ما الذي يتغير.
Practice
1
أعط مدى y = ٥ sin θ وy = −٠٫٥ cos θ.
[−٥, ٥] و[−٠٫٥, ٠٫٥].
2
أوجد cos(٣π) وcos(−π/٢).
cos ٣π = cos π = −١؛ cos(−π/٢) = ٠.
3
في نموذج الحوض أوجد العمق عندما θ = π/٦.
h = ٠٫٤ × ½ = ٠٫٢ م والعمق ٢٫٢ م.
4
الإزاحة الأفقية لأرجوحة x = ٠٫٨ cos θ مترًا. ما أكبر إزاحة إلى كل جهة؟
٠٫٨ م يمينًا و٠٫٨ م يسارًا (السعة ٠٫٨).
5
كم مرة يساوي y = cos θ القيمة ١ لـ ٠ ≤ θ ≤ ٤π؟
