Goalأقرأ النسب المثلثية الست لزاوية من نقطة على ضلعها النهائي.
New words
دائرة الوحدة · الدائرة التي مركزها O ونصف قطرها ١جيب الزاوية وجيب التمام · نكتبهما بالرمزين اللاتينيين sin وcos: sin θ = y وcos θ = xالظل · نكتبه tan θ = y/x
Explanation
نضع الزاوية θ في الوضع القياسي. يقطع ضلعها النهائي دائرة الوحدة (مركزها O ونصف قطرها ١) في نقطة P(x, y). عندئذٍ cos θ = x وsin θ = y وtan θ = y/x (حيث x ≠ ٠). ومقلوباتها sec θ = ١/x (القاطع) وcsc θ = ١/y (قاطع التمام) وcot θ = x/y (ظل التمام). وبما أن P على الدائرة فإن x² + y² = ١ أي sin²θ + cos²θ = ١. ولأي نقطة (x, y) على الضلع النهائي، ليست بالضرورة على دائرة الوحدة، نفرض r = √(x² + y²) بعدها عن O: sin θ = y/r وcos θ = x/r وtan θ = y/x. وفي الكتب العربية تُكتب هذه الدوال بالحروف (جا وجتا وظا)، أما هنا فنحتفظ بالرموز اللاتينية sin وcos وtan.
النسبة
على دائرة الوحدة
نقطة (x, y) وr = √(x² + y²)
sin θ
y
y/r
cos θ
x
x/r
tan θ
y/x
y/x
csc θ
١/y
r/y
sec θ
١/x
r/x
cot θ
x/y
x/y
Worked examples
يمر الضلع النهائي لـ θ بالنقطة P(−٠٫٦, ٠٫٨) على دائرة الوحدة. فإن sin θ = ٠٫٨ وcos θ = −٠٫٦ وtan θ = ٠٫٨/(−٠٫٦) = −٤/٣. تحقق: (−٠٫٦)² + ٠٫٨² = ٠٫٣٦ + ٠٫٦٤ = ١ ✓.
إذا كان cos θ = ٠٫٥ فإن sec θ = ١/٠٫٥ = ٢. المقلوب يقلب العدد، وsec θ لا يقع أبدًا بين −١ و١.
Class activity
عصا الظل. ارسم على ورق مربعات دائرة نصف قطرها ١٠ سم مركزها نقطة الأصل. علّم عليها بالمنقلة النقطة عند ٦٠°. اقرأ x وy لها من الشبكة وقسّم كلًا منهما على ١٠. قارن مع cos ٦٠° = ٠٫٥ وsin ٦٠° ≈ ٠٫٨٧.
Practice
1
النقطة P(٠٫٢٨, ٠٫٩٦) على دائرة الوحدة عند الزاوية θ. أوجد sin θ وcos θ وtan θ.
