1
مستقيم يوازي أحد أضلاع المثلث يقسم الضلعين الآخرين بنسبة واحدة: AD/DB = AE/EC داخل المثلث وخارجه
Mathematics Sec 1 Term 1, Unit 3, Lesson 1
Goalأستخدم النظرية: المستقيم الموازي لأحد الأضلاع يقسم الضلعين الآخرين بالنسبة نفسها.
New words
الأجزاء المتناسبة · قطع من قطعتين مستقيمتين لها النسبة نفسهايقسم بنسبة · يقطع قطعة إلى جزأين نسبتهما معلومة
Explanation
النظرية: إذا قطع المستقيم DE الموازي لـ BC الضلع AB في D والضلع AC في E فإن AD/DB = AE/EC. البرهان: △ADE ~ △ABC فإن AB/AD = AC/AE. نطرح ١ من الطرفين: AB/AD − ١ = (AB − AD)/AD = DB/AD وبالمثل AC/AE − ١ = EC/AE. إذن DB/AD = EC/AE وبقلب الكسرين نحصل على AD/DB = AE/EC. ونحتفظ أيضًا بـ AD/AB = AE/AC وDE/BC = AD/AB. وتصح النظرية حتى لو وقعت D وE على امتدادي AB وAC بعد A أو B أو C: فيكون AD/AB = AE/AC مع قياس كل الأطوال من A. وانتبه لأي القطع تكوّن النسبة: AD/DB يقارن جزأين من ضلع واحد أما AD/AB فيقارن جزءًا بالضلع كله. كلتاهما صحيحة لكنهما نسبتان مختلفتان ولا يجوز خلطهما.
| الحقيقة | تُكتب |
|---|---|
| جزء إلى جزء (على الضلع نفسه) | AD/DB = AE/EC |
| جزء إلى كل | AD/AB = AE/AC |
| الثلاثة معًا (مع القاعدة) | AD/AB = AE/AC = DE/BC |
Worked examples
DE ∥ BC وD على AB وE على AC: AD = ٦ وDB = ٤ وAE = ٩. أوجد EC وAC. AD/DB = ٦/٤ = ٣/٢ = AE/EC = ٩/EC فإن EC = ٦ وAC = ٩ + ٦ = ١٥.
DE ∥ BC وAB = ٢٠ وAD = ٨ وAC = ٢٥. أوجد AE وEC. AD/AB = ٨/٢٠ = ٢/٥ = AE/AC فإن AE = ١٠ وEC = ١٥. للتحقق: AD/DB = ٨/١٢ = ٢/٣ وAE/EC = ١٠/١٥ = ٢/٣ ✓.
خارج المثلث. D على امتداد AB بعد B وE على امتداد AC بعد C وBC ∥ DE. AB = ٨ وBD = ٤ وAC = ١٠. فإن AD = ١٢ وAB/AD = AC/AE تعطي ٨/١٢ = ١٠/AE فإن AE = ١٥ وCE = ٥.
Class activity
صيد النسب. في شكل المثال الأول اكتب ثلاث نسب صحيحة مختلفة تساوي AD/DB أو AD/AB وقرّر أي الأزواج يجوز مساواتها.
Practice
1
DE ∥ BC وD على AB وE على AC وAD = ٤ وDB = ٨ وAE = ٣. أوجد EC.
٤/٨ = ٣/EC فإن EC = ٦.
2
DE ∥ BC وAD = ٥ وAB = ١٥ وEC = ١٤. أوجد AE وAC.
DB = ١٠ وAD/DB = ١/٢ = AE/١٤ فإن AE = ٧ وAC = ٢١.
3
DE ∥ BC وAD = x وDB = ٣ وAE = ٨ وEC = ١٢. أوجد x.
x/٣ = ٨/١٢ = ٢/٣ فإن x = ٢.
4
D منتصف AB وDE ∥ BC. إذا كان AC = ١٨ فأوجد AE.
AD/DB = ١ = AE/EC فإن E منتصف AC وAE = ٩.
5
ساعة رملية: المستقيمان BD وCE يتقاطعان في A بين المتوازيين BC وDE. AB = ٦ وAD = ١٥ وAC = ٤. أوجد AE.
AB/AD = AC/AE تعطي ٦/١٥ = ٤/AE فإن AE = ١٠.