1
مستقيم يوازي أحد أضلاع المثلث يقطع مثلثًا مشابهًا له: البراهين وإيجاد الأطوال
Mathematics Sec 1 Term 1, Unit 2, Lesson 2
Goalأستخدم مستقيمًا يوازي أحد أضلاع المثلث لإثبات التشابه وإيجاد الأطوال.
New words
نتيجة · حقيقة تنتج مباشرة من نظرية سبق إثباتهازاويتان متناظرتان · زاويتان في الموضع نفسه حيث يقطع قاطع مستقيمينزاويتان متبادلتان · زاويتان على جانبين مختلفين من القاطع بين المستقيمين
Explanation
مستقيم يوازي أحد أضلاع المثلث ويقطع الضلعين الآخرين (أو امتداديهما) يفصل مثلثًا مشابهًا للمثلث الأصلي. لماذا؟ في △ABC لتكن D على AB وE على AC وDE ∥ BC. الزاوية ∠A مشتركة بين المثلثين و∠ADE = ∠ABC لأنهما متناظرتان بين مستقيمين متوازيين. تساوت زاويتان فيكون △ADE ~ △ABC بمسلمة AA. وهذا يصح في كل الأوضاع: داخل المثلث أو على شكل ساعة رملية حيث A بين المستقيمين أو بعد القاعدة. ثم AD/AB = AE/AC = DE/BC. وحقيقة نافعة أخرى: إذا شابه مثلثان كل منهما مثلثًا ثالثًا فهما متشابهان. اكتب الحروف دائمًا بترتيب متناظر واذكر أي الزوايا استخدمت.
| موضع المستقيم DE ∥ BC | لماذا يتشابه المثلثان | المثلثان |
|---|---|---|
| داخل المثلث | ∠A مشتركة؛ ∠D = ∠B و∠E = ∠C (متناظرتان) | △ADE ~ △ABC |
| على شكل ساعة رملية (A بينهما) | الزاويتان المتقابلتان بالرأس عند A؛ ∠B = ∠D (متبادلتان) | △ABC ~ △ADE |
| بعد BC | ∠A مشتركة؛ والمتناظرتان متساويتان | △ABC ~ △ADE |
Worked examples
في △ABC النقطة D على AB وE على AC وDE ∥ BC وAD = ٤ وDB = ٦ وDE = ٦ وAE = ٦. أوجد BC وAC. AB = ٤ + ٦ = ١٠ و△ADE ~ △ABC فإن AD/AB = ٤/١٠ = ٢/٥ = DE/BC = AE/AC. فإن BC = ٦ ÷ ٢/٥ = ١٥ وAC = ٦ ÷ ٢/٥ = ١٥.
ساعة رملية. المستقيمان BD وCE يتقاطعان في A وBC ∥ DE. AB = ٦ وAD = ٩ وBC = ٨. الزاويتان المتقابلتان بالرأس عند A متساويتان و∠B = ∠D (متبادلتان) فإن △ABC ~ △ADE. ثم AD/AB = ٩/٦ = ٣/٢ = DE/BC فيكون DE = ٨ × ٣/٢ = ١٢.
مثلثان يشبهان مثلثًا ثالثًا. في △ABC DE ∥ BC (D على AB وE على AC) وDF ∥ AC (F على BC). فإن △ADE ~ △ABC و△DBF ~ △ABC. إذن △ADE ~ △DBF مع أنهما لا يتلامسان على ضلع.
Class activity
ابحث عن الأزواج. ارسم مثلثًا ABC وعيّن D على AB وارسم من D مستقيمين يوازيان BC وAC. لوّن المثلثين الصغيرين واكتب أيها يشبه △ABC.
Practice
1
في △ABC المستقيم DE يوازي BC حيث D على AB وE على AC. إذا كان AD = ٣ وAB = ٩ وDE = ٥ فأوجد BC.
AD/AB = ٣/٩ = ١/٣ = DE/BC فإن BC = ١٥.
2
DE ∥ BC وAD = ٦ وDB = ٢ وAE = ٩. أوجد AC وEC.
AB = ٨ وAD/AB = ٣/٤ = AE/AC فإن AC = ٩ ÷ ٣/٤ = ١٢ وEC = ١٢ − ٩ = ٣.
3
ساعة رملية: BC ∥ DE وAB = ٤ وAD = ١٠ وBC = ٦. أوجد DE.
△ABC ~ △ADE: AD/AB = ١٠/٤ = ٥/٢ فإن DE = ٦ × ٥/٢ = ١٥.
4
لماذا ∠ADE = ∠ABC عندما DE ∥ BC؟
هما متناظرتان: القاطع AB يقطع المستقيمين المتوازيين DE وBC.
5
△ADE ~ △ABC وAD/AB = ٢/٣ ومحيط △ABC يساوي ٣٠ سم. أوجد محيط △ADE.
للمحيطين النسبة نفسها: ٣٠ × ٢/٣ = ٢٠ سم.