Week 8 · Applications of similarity in the circle: intersecting chords, secants and a tangent, and their converses · 3 lessons
1
وتران أو امتداداهما يتقاطعان في نقطة: EA × EB = EC × ED داخل الدائرة أو خارجها
Mathematics Sec 1 Term 1, Unit 2, Lesson 4
Goalأستخدم حاصل ضرب أجزاء وترين (أو قاطعين) يتقاطعان في نقطة.
New words
الوتر · قطعة مستقيمة تصل بين نقطتين على الدائرةالقاطع · مستقيم يمر بنقطتين من الدائرةالزاويتان المحيطيتان على الوتر نفسه · زاويتان في جهة واحدة من وتر تقابلان القوس نفسه فهما متساويتان
Explanation
مراجعة عن الدائرة: الوتر يصل بين نقطتين من الدائرة، والقاطع مستقيم يمر بنقطتين من الدائرة، والمماس يمس الدائرة في نقطة واحدة، والنقاط الواقعة على دائرة واحدة تسمى متحدة الدائرة. وسنستخدم حقيقة واحدة: الزاويتان اللتان تقعان في جهة واحدة من وتر وتقابلان القوس نفسه متساويتان. النظرية: إذا تقاطع الوتران AB وCD (أو امتداداهما) في E داخل الدائرة أو خارجها فإن EA × EB = EC × ED. البرهان: نرسم AD وCB. الزاويتان ∠EAD و∠ECB تقابلان القوس نفسه على الوتر BD (في حالة E داخل الدائرة، وفي حالة E خارجها إحداهما زاوية خارجة عن الشكل الرباعي الدائري) فهما متساويتان، والزاوية عند E مشتركة أو متقابلة بالرأس. فيكون △EAD ~ △ECB ومنه EA/EC = ED/EB أي EA × EB = EC × ED. قِس دائمًا من E إلى كل طرف: وعندما تكون E خارج الدائرة فإن EB هو القاطع كله وليس AB.
الكلمة
المعنى
وتر
قطعة مستقيمة تصل بين نقطتين على الدائرة
قاطع
مستقيم يمر بنقطتين من الدائرة
مماس
مستقيم يمس الدائرة في نقطة واحدة فقط
نقاط على دائرة واحدة
نقاط تقع على دائرة واحدة
Worked examples
وتران AB وCD يتقاطعان في E داخل الدائرة. EA = ٤ وEB = ٦ وEC = ٣. أوجد ED. EA × EB = ٤ × ٦ = ٢٤ = EC × ED = ٣ × ED فإن ED = ٨.
الوتران AB وCD يتقاطعان في E داخل الدائرة وEA : EB = ٢ : ٣ وEC = ٦ وED = ٥. لنفرض EA = ٢k وEB = ٣k. فإن ٢k × ٣k = ٦ × ٥ أي ٦k² = ٣٠ وk² = ٥ وk = √٥. فإن EB = ٣√٥ سم.
