3
القياس الدائري: الزاوية بالراديان والتحويل بين الدرجات والراديان وطول القوس ℓ = θ × r
Mathematics Sec 1 Term 1, Unit 4, Lessons 1–2
Goalأحوّل بين الدرجات والراديان وأوجد طول قوس.
New words
الراديان · الزاوية المركزية التي تقطع قوسًا طوله يساوي نصف القطرطول القوس · ℓ = θ × r حيث θ بالراديان
Explanation
الراديان الواحد هو الزاوية المركزية في دائرة التي تقطع قوسًا طوله يساوي نصف القطر. الدورة الكاملة يقابلها قوس طوله محيط الدائرة كله ٢πr فالدورة الكاملة ٢π راديان. إذن π راديان = ١٨٠°. لتحويل الدرجات إلى راديان نضرب في π/١٨٠؛ ولتحويل الراديان إلى درجات نضرب في ١٨٠/π. والراديان الواحد يساوي نحو ٥٧٫٣°. وإذا لم تُكتب وحدة للقياس فهو بالراديان. طول القوس الذي تقطعه زاوية مركزية θ (بالراديان) في دائرة نصف قطرها r هو ℓ = θ × r. وتصح فقط عندما تكون θ بالراديان؛ ومع الدرجات نضرب أولًا في π/١٨٠.
| الدرجات | ٠° | ٣٠° | ٤٥° | ٦٠° | ٩٠° | ١٨٠° | ٢٧٠° | ٣٦٠° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| الراديان | ٠ | π/٦ | π/٤ | π/٣ | π/٢ | π | ٣π/٢ | ٢π |
Worked examples
حوّل ١٣٥° إلى راديان: ١٣٥ × π/١٨٠ = ٣π/٤.
حوّل ٥π/٦ إلى درجات: ٥π/٦ × ١٨٠/π = ١٥٠°. و٢ راديان = ٢ × ٥٧٫٣° ≈ ١١٤٫٦°.
ƒFormula
ℓ = θ × r
طول القوس = الزاوية بالراديان × نصف القطر؛ π راديان = ١٨٠°
قوس طوله ١٥ م في دائرة نصف قطرها ٦ م. θ = ℓ/r = ١٥/٦ = ٢٫٥ راديان.
Class activity
خيط وقلم. اربط قلمًا بخيط طوله ٢٠ سم وثبّت طرفه الآخر وارسم قوسًا طوله ٢٠ سم بالضبط. علّم الزاوية: هي راديان واحد. قِسها بالمنقلة وقارنها بـ ٥٧٫٣°.
Practice
1
حوّل ٢١٠° إلى راديان.
٢١٠ × π/١٨٠ = ٧π/٦.
2
حوّل ٧π/٤ إلى درجات.
٧π/٤ × ١٨٠/π = ٣١٥°.
3
أوجد طول القوس لـ θ = ٢π/٣ في دائرة نصف قطرها ٩ م.
ℓ = ٢π/٣ × ٩ = ٦π ≈ ١٨٫٨٥ م.
4
قوس طوله ١٠ م تقطعه زاوية ٠٫٨ راديان. أوجد نصف القطر.
r = ℓ/θ = ١٠/٠٫٨ = ١٢٫٥ م.
5
اكتب −٤٥° بالراديان.
−٤٥ × π/١٨٠ = −π/٤.