3
المضلعات: المحدّب والمقعّر والأقطار ومجموع الزوايا الداخلية
Mathematics Prep 1 Term 1, Unit 4, Lessons 4–5
Goalأميّز المضلع المحدّب من المقعّر وأستخدم (n − ٢) × ١٨٠° لإيجاد مجموع الزوايا.
New words
المضلع · شكل مغلق يتكوّن من قطع مستقيمةالقطر · قطعة مستقيمة تصل بين رأسين غير متجاورينمحدّب · كل زاوية داخلية فيه أصغر من ١٨٠°مقعّر · فيه زاوية داخلية واحدة على الأقل أكبر من ١٨٠°
Explanation
المضلع الذي له n ضلعًا له n رأسًا. والقطر يصل بين رأسين غير متجاورين. من رأس واحد يمكن رسم n − ٣ قطرًا وتقسم المضلع إلى n − ٢ مثلثًا. مجموع زوايا كل مثلث ١٨٠° فيكون مجموع الزوايا الداخلية للمضلع (n − ٢) × ١٨٠°. المضلع محدّب إذا كانت كل زاوية داخلية أصغر من ١٨٠°، ومقعّر إذا كانت إحدى زواياه منعكسة أي أكبر من ١٨٠°. في الخماسي أدناه تكوّن الأقطار المتقطعة ٣ مثلثات و٣ × ١٨٠° = ٥٤٠°.
Worked examples
مجموع الزوايا. للسداسي n = ٦ أضلاع. من رأس واحد ٦ − ٣ = ٣ أقطار تكوّن ٦ − ٢ = ٤ مثلثات. المجموع ٤ × ١٨٠° = ٧٢٠°. وكذلك الثماني: (٨ − ٢) × ١٨٠° = ١٠٨٠°.
زاوية مفقودة. أربع زوايا في خماسي ١٠٠° و١١٠° و١٢٠° و٩٥° ومجموعها ٤٢٥°. مجموع زوايا الخماسي ٥٤٠° فتكون الزاوية الخامسة ٥٤٠° − ٤٢٥° = ١١٥°.
إيجاد عدد الأضلاع. مجموع زوايا مضلع ١٢٦٠°. إذن (n − ٢) × ١٨٠ = ١٢٦٠ فيكون n − ٢ = ٧ وn = ٩.
محدّب أم مقعّر؟ في الشكل الزاوية عند D متجهة إلى الداخل وأكبر من ١٨٠° فالمضلع مقعّر. أما مضلع زواياه ١٠٠° و٩٠° و١١٠° و٦٠° فهو محدّب لأن كل زاوية أصغر من ١٨٠°.
Class activity
تقسيم الأشكال. مع أحد الكبار ارسم سباعيًا (٧ أضلاع) على ورقة. اختر رأسًا وارسم منه كل الأقطار. عدّ المثلثات. هل يطابق العدد n − ٢؟
Practice
1
إلى كم مثلثًا ينقسم السباعي من رأس واحد؟ وما مجموع زواياه؟
٧ − ٢ = ٥ مثلثات. المجموع ٥ × ١٨٠° = ٩٠٠°.
2
مجموع زوايا مضلع ١٠٨٠°. كم ضلعًا له؟
١٠٨٠ ÷ ١٨٠ = ٦ فيكون n − ٢ = ٦ وn = ٨.
3
خمس زوايا في سداسي ١٢٠° و١٣٠° و١١٠° و١٢٥° و١١٥°. أوجد السادسة.
المجموع ٧٢٠°. ١٢٠ + ١٣٠ + ١١٠ + ١٢٥ + ١١٥ = ٦٠٠ فتكون السادسة ٧٢٠° − ٦٠٠° = ١٢٠°.
4
في مضلع زاوية قياسها ٢٠٠°. هل هو محدّب أم مقعّر؟
مقعّر لأن ٢٠٠° أكبر من ١٨٠°.
5
يقول كريم إن الخماسي ينقسم إلى ٥ مثلثات فمجموع زواياه ٥ × ١٨٠° = ٩٠٠°. ما الخطأ؟
عدد المثلثات n − ٢ = ٣ وليس ٥. المجموع ٣ × ١٨٠° = ٥٤٠°.