الإحداثيات في الفراغ والمسافة والمنتصف وأولى خطوات المتجهات

بعض الكميات لها مقدار فقط، مثل كتلة ⁦٥‎⁩ كجم. وبعضها يحتاج إلى اتجاه أيضًا: القوة والسرعة والإزاحة. نرسمها أسهمًا ونسميها متجهات. ففي المستوى ⁦٣‎⁩ م شرقًا و⁦٤‎⁩ م شمالًا هو المتجه ⁦(٣‎, ٤‎)⁩، وطوله ⁦√(٩‎ + ١٦‎) = ٥‎⁩ م. وفي الفراغ نستعمل ثلاث مركبات. متجه موضع النقطة ⁦A(Aₓ, Aᵧ, A_z)⁩ هو السهم من ⁦O⁩ إلى ⁦A⁩ ويكتب ⁦A = (Aₓ, Aᵧ, A_z)⁩، وأعداده هي مركباته على المحاور الثلاثة. وطوله هو معيار المتجه ⁦‖A‖ = √(Aₓ² + Aᵧ² + A_z²)⁩ وهو المسافة ⁦OA⁩ نفسها. ونجمع متجهين بجمع المركبات المتناظرة: ⁦(a, b, c) + (d, e, f) = (a + d, b + e, c + f)⁩. وفي الرسم نضع بداية السهم الثاني عند نهاية الأول (أو نتم متوازي الأضلاع كما في شكل المستوى) فيكون المجموع من البداية إلى النهاية. والجمع يشبه جمع الأعداد: مجموع متجهين متجه في الفراغ، و⁦A + B = B + A⁩، و⁦(A + B) + C = A + (B + C)⁩، والمتجه الصفري ⁦(٠‎, ٠‎, ٠‎)⁩ لا يغير شيئًا، ولكل ⁦A⁩ معكوس ⁦−A = (−Aₓ, −Aᵧ, −A_z)⁩ بحيث ⁦A + (−A) = (٠‎, ٠‎, ٠‎)⁩. وبصفة عامة ⁦‖A + B‖ ≤ ‖A‖ + ‖B‖⁩.