الأسبوع 3 · The term free of x, ratios of consecutive terms and of their coefficients, three consecutive coefficients and the greatest term · 3 دروس
2
النسبة بين حدين متتاليين، وبين معاملي حدين متتاليين
Pure Mathematics Sec 3 Term 1, Unit 1, Lessons 2–3
Goalأجد النسبة بين حدّين متتاليين وبين معاملَيهما.
New words
نسبة حدّين متتاليين · T(r+١)/T(r) = ((n − r + ١)/r) · (a/x) في (x + a)ⁿنسبة المعاملين · النسبة نفسها بعد حذف الحروف
Explanation
نقسم حدًّا في (x + a)ⁿ على الحد الذي قبله. T(r+١) = nCr xⁿ⁻ʳ aʳ وT(r) = nC(r−١) xⁿ⁻ʳ⁺¹ aʳ⁻¹ فيكون T(r+١)/T(r) = [nCr / nC(r−١)] · (a/x). وبكتابة nCr بالمضروبات نجد nCr / nC(r−١) = (n − r + ١)/r. فنحصل على القاعدة T(r+١)/T(r) = ((n − r + ١)/r) · (a/x). ويتحقق الجدول منها في (١ + x)⁶ عند x = ١ حيث النسب هي نواتج قسمة الأعداد المتجاورة في الصف ١, ٦, ١٥, ٢٠, ١٥, ٦, ١. وللمعاملات في (px + qy)ⁿ نبقي الأعداد فقط: نسبة معامل T(r+١) إلى معامل T(r) هي ((n − r + ١)/r) · (q/p). وقل دائمًا أي r تستعمل: في T٤ ÷ T٣ الحد البسط هو T(r+١) = T٤ إذن r = ٣. وهذه النسب أداة لمعادلات الدرس التالي: فالنسبة المعطاة تصبح معادلة في n أو x أو عدد مجهول.
(1 + x)⁶ عند x = 1: القانون (6 − r + 1)/r
r
T(r+1) ÷ T(r)
العددان
1
6
6 ÷ 1
2
5/2
15 ÷ 6
3
4/3
20 ÷ 15
4
3/4
15 ÷ 20
5
2/5
6 ÷ 15
6
1/6
1 ÷ 6
Worked examples
في (x + ٣y)¹⁰ أوجد T٤ ÷ T٣. هنا T٤ = T(r+١) مع r = ٣: ((١٠ − ٣ + ١)/٣) · (٣y/x) = (٨/٣)(٣y/x) = ٨y/x.
