Системы счисления

Система счисления – это набор цифр (знаков) для записи чисел вместе с правилами их использования. Количество цифр в системе – её основание: в десятичной системе основание 10 (цифры от 0 до 9), в двоичной – 2 (0 и 1). Однозначные знаки – это цифры, составленные из них многозначные записи – числа: 5, 6, 8 – цифры, 568 – число. В прошлом разные народы пользовались пятеричной, двенадцатеричной, двадцатеричной (майя) и шестидесятеричной (вавилоняне) системами; о них напоминают 60 минут в часе и 12 + 12 часов в сутках. В позиционной системе значение цифры зависит от её места (позиции) в числе: в числе 333 три тройки означают 300, 30 и 3. Римская система не является позиционной: в XXX каждая X всегда означает 10. В системе с основанием p цифры – от 0 до p – 1; если основание больше 10, добавляют буквы A, B, C, … (в системе с основанием 16 A = 10, …, F = 15). Следующее число получается «сдвигом» последней цифры, а наибольшая цифра превращается в 0 и сдвигает соседнюю слева. В любой позиционной системе её собственное основание записывается как «10», поэтому основание указывают нижним индексом: 101₂, 101₈. В развёрнутой форме число записывают как сумму произведений его цифр на степени основания: 4072 = 4 · 10³ + 0 · 10² + 7 · 10¹ + 2 · 10⁰. Одним из учёных, распространивших современную десятичную позиционную систему, был Мухаммад аль-Хорезми (родился в Хорезме, ок. 780–850): его трактат об индийском счёте был переведён на латынь, а его первые слова «Dixit Algorizmi» дали начало слову «алгоритм».