3
أصفار الدالة النسبية ومجموعة حل f(x) = k
Mathematics Prep 3 Term 1, Unit 2, Lesson 3
Goalأوجد أصفار الدالة النسبية وأحل f(x) = k، وأرفض أي قيمة خارج المجال.
New words
صفر الدالة · قيمة x في المجال تجعل f(x) = ٠مجموعة الأصفار · أصفار البسط مع استبعاد أصفار المقاممجموعة الحل · كل قيم x في المجال التي تحقق المعادلةيرفض · يستبعد قيمة لا تنتمي إلى المجال
Explanation
يساوي الكسر صفرًا فقط عندما يكون بسطه صفرًا ومقامه لا يساوي صفرًا. لذلك مجموعة أصفار f = p ÷ q هي {أصفار p} − {أصفار q}. والقيمة التي تجعل البسط والمقام صفرًا ليست صفرًا للدالة لأن f غير معرّفة عندها. ولحل f(x) = k نجد المجال أولًا، ثم نبسّط، ثم نحل المعادلة الأبسط. وفي النهاية نقارن كل حل بالمجال: الحل الواقع خارج المجال يُرفض، وإذا لم يبق حل كانت مجموعة الحل ∅. وعندما يكون الكسر غير مبسّط يمكن ضرب الطرفين في المقام لأنه لا يساوي صفرًا داخل المجال.
| الخطوة | للدالة f(x) = (x² − ٦x + ٨) ÷ (x² − x − ٢) |
|---|---|
| أصفار البسط | (x − ٢)(x − ٤): {٢, ٤} |
| أصفار المقام | (x − ٢)(x + ١): {٢, −١} |
| المجال | R − {٢, −١} |
| أصفار الدالة | {٢, ٤} − {٢, −١} = {٤} |
Worked examples
أوجد أصفار f(x) = (x² − ٦x + ٨) ÷ (x² − x − ٢). البسط (x − ٢)(x − ٤) أصفاره {٢, ٤}. والمقام (x − ٢)(x + ١) أصفاره {٢, −١}. عند ٢ يكون كلاهما صفرًا فليس ٢ صفرًا للدالة. مجموعة الأصفار {٤}. تحقق: f(٤) = (١٦ − ٢٤ + ٨) ÷ (١٦ − ٤ − ٢) = ٠ ÷ ١٠ = ٠.
ليكن f(x) = (x² − x − ٦) ÷ (x − ٣). حل f(x) = ٥ وf(x) = ٤. المجال R − {٣}. نبسّط: (x − ٣)(x + ٢) ÷ (x − ٣) = x + ٢. في f(x) = ٥: x + ٢ = ٥ تعطي x = ٣ وهي ليست في المجال، فمجموعة الحل ∅. وفي f(x) = ٤: x + ٢ = ٤ تعطي x = ٢ وهي في المجال. تحقق: f(٢) = (٤ − ٢ − ٦) ÷ (−١) = ٤ ✓. مجموعة الحل {٢}.
حل (٢x + ٣) ÷ (x − ١) = ١. المجال R − {١}. نضرب الطرفين في x − ١: ٢x + ٣ = x − ١ فيكون x = −٤ وهي في المجال. تحقق: (−٨ + ٣) ÷ (−٤ − ١) = −٥ ÷ −٥ = ١ ✓.
Class activity
لماذا نرفض؟ لتكن f(x) = (x² − ٩) ÷ (x − ٣). حاول حل f(x) = ٦. بيّن أن الحل يؤدي إلى x = ٣ ووضّح بكلماتك لماذا لا يمكن أن يكون ٣ إجابة.
Practice
1
أوجد أصفار (x² − ٩) ÷ (x + ٣).
أصفار البسط {٣, −٣} وأصفار المقام {−٣}. مجموعة الأصفار {٣}.
2
أوجد الأصفار والمجال للدالة (x² + x) ÷ (x² + ١).
x(x + ١) = ٠ تعطي {٠, −١}. وx² + ١ لا تساوي صفرًا فالمجال R والأصفار {٠, −١}.
3
حل (x² − ٤) ÷ (x − ٢) = ٤.
نبسّط إلى x + ٢ = ٤ فيكون x = ٢ لكن ٢ ليست في المجال R − {٢}. مجموعة الحل ∅.
4
حل (x² − ٤) ÷ (x − ٢) = ١.
x + ٢ = ١ تعطي x = −١ وهي في المجال. تحقق: (١ − ٤) ÷ (−٣) = ١. مجموعة الحل {−١}.
5
حل ٣ ÷ (x + ١) = ١/٢.
المجال R − {−١}. بالضرب التبادلي: ٦ = x + ١ فيكون x = ٥. تحقق: ٣ ÷ ٦ = ١/٢ ✓.