2
تبسيط الدالة النسبية بالتحليل: يبقى المجال هو مجال الدالة الأصلية
Mathematics Prep 3 Term 1, Unit 2, Lesson 3
Goalأبسّط الكسر الجبري النسبي بحذف العوامل المشتركة، وأحتفظ بمجال الدالة الأصلية.
New words
الحذف (الاختصار) · قسمة البسط والمقام على العامل نفسه غير الصفريعامل مشترك · عامل يظهر في البسط والمقام معًاأبسط صورة · كسر ليس بين بسطه ومقامه عامل مشتركثقب في المنحنى · نقطة مفقودة في الرسم عند قيمة x خارج المجال
Explanation
لتبسيط كسر نحلل البسط والمقام ثم نحذف العوامل المشتركة. نحذف العوامل لا الحدود: فالمقدار (x + ٢) ÷ (x + ٣) لا يساوي ٢ ÷ ٣. وقبل الحذف نكتب المجال، لأن الكسر المبسّط قد يكون معرّفًا عند مكان لا تكون الدالة الأصلية معرّفة فيه. فللدالة f(x) = (x² − ٩) ÷ (x − ٣) تكون f(٣) غير معرّفة، مع أننا نحصل بعد الحذف على x + ٣ التي لها قيمة عند ٣. تبقى f غير معرّفة عند ٣: منحناها هو المستقيم y = x + ٣ مع ثقب عند النقطة (٣, ٦). إذن المجال هو ما نجده من المقام الأصلي R − {٣}. ونرسم حلقة صغيرة على المنحنى للثقب.
Worked examples
بسّط f(x) = (x² − x − ١٢) ÷ (x² − ٩) واكتب مجالها. نحلل: البسط (x − ٤)(x + ٣) والمقام (x − ٣)(x + ٣). المجال من المقام الأصلي: R − {٣, −٣}. نحذف (x + ٣): f(x) = (x − ٤) ÷ (x − ٣). تحقق عند x = ١: الأصلية (١ − ١ − ١٢) ÷ (١ − ٩) = −١٢ ÷ (−٨) = ٣/٢ والمبسطة (١ − ٤) ÷ (١ − ٣) = ٣/٢ ✓
في المثال السابق، هل f(−٣) معرّفة؟ القاعدة المبسطة تعطي (−٣ − ٤) ÷ (−٣ − ٣) = ٧/٦ لكن −٣ ليست في مجال الدالة الأصلية، فلا وجود لـf(−٣). وفي المنحنى ثقب عند x = −٣. المعتبر هو المجال الأصلي فقط.
| x | (x + ٢) ÷ (x + ٣) | ٢ ÷ ٣ |
|---|---|---|
| ١ | ٣/٤ | ٢/٣ |
| ٠ | ٢/٣ | ٢/٣ |
| ٢ | ٤/٥ | ٢/٣ |
Class activity
اصطد الثقب. استخدم الآلة الحاسبة لإيجاد f(x) = (x² − ٩) ÷ (x − ٣) عند x = ٢٫٩, ٢٫٩٩, ٢٫٩٩٩, ٣٫٠٠١. إلى أي عدد تقترب النتائج؟ ولماذا لا يمكن أن توجد نقطة على المنحنى عند x = ٣؟
Practice
1
بسّط (x² − ٤) ÷ (x² + ٤x + ٤) واذكر المجال.
(x − ٢)(x + ٢) ÷ (x + ٢)² = (x − ٢) ÷ (x + ٢). المجال R − {−٢}.
2
بسّط (x² − ٥x) ÷ (x² − ٢٥) واذكر المجال.
x(x − ٥) ÷ ((x − ٥)(x + ٥)) = x ÷ (x + ٥). المجال R − {٥, −٥}.
3
بسّط f(x) = (x² − ١) ÷ (x² − x). ثم أوجد f(٢) وبيّن هل f(١) موجودة.
(x − ١)(x + ١) ÷ (x(x − ١)) = (x + ١) ÷ x والمجال R − {٠, ١}. f(٢) = ٣/٢. أما f(١) فغير موجودة لأن ١ ليست في المجال، مع أن (١ + ١) ÷ ١ = ٢.
4
هل (x + ٢) ÷ (x + ٣) تساوي ٢ ÷ ٣؟ فسّر باستخدام x = ٠ وx = ١.
عند x = ٠ كلاهما ٢/٣ لكن عند x = ١ الأول ٣/٤. قيمة واحدة متفقة لا تكفي؛ فهما غير متساويين.
5
بسّط (x − ٣) ÷ (٣ − x) واذكر المجال.
٣ − x = −(x − ٣) فالكسر يساوي −١. المجال R − {٣}.