3
مراجعة: التشابه والتمدد وحساب المثلثات والمستقيمات والانحراف المعياري
Mathematics Prep 3 Term 1, Units 1–4, Review
Goalأخلط أفكار الوحدتين ٣ و٤: التشابه والتمدد والنسب والمستقيمات والانحراف المعياري.
New words
نسبة التشابه k · نسبة الأضلاع المتناظرة في الأشكال المتشابهةالتمدد · تكبير أو تصغير من مركز بمعامل kالميل · m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) = tan θالانحراف المعياري · σ = √(Σ(x − x̄)² ÷ n)
Explanation
خريطة سريعة للوحدتين ٣ و٤. الأشكال المتشابهة زواياها متساوية وأضلاعها بنسبة k؛ ومساحاتها بنسبة k². التمدد حول نقطة الأصل بمعامل k ينقل (x, y) إلى (kx, ky). في المثلث القائم sin θ المقابل ÷ الوتر وcos θ المجاور ÷ الوتر وtan θ المقابل ÷ المجاور، وsin ٣٠° = ١/٢ وtan ٤٥° = ١ وtan ٦٠° = √٣. والمستقيم المار بنقطتين ميله m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)؛ والمتوازيان ميلاهما متساويان والمتعامدان m₁m₂ = −١. وσ = √(Σ(x − x̄)² ÷ n) وكلما صغرت σ كانت البيانات أكثر اتساقًا.
Worked examples
مثلث أضلاعه ٦ و٨ و١٠ يُكبَّر بنسبة ٣/٢: أضلاعه ٩ و١٢ و١٥؛ ونسبة المساحتين ٩/٤.
التمدد حول نقطة الأصل بمعامل k = ٣ ينقل A(٢, −١) إلى A′(٦, −٣).
المستقيم المار بـ(١, ٥) و(٣, ١): m = −٤/٢ = −٢ وy − ٥ = −٢(x − ١) وy = −٢x + ٧ والصيغة العامة ٢x + y = ٧. الموازي المار بنقطة الأصل y = −٢x؛ والعمودي ميله ١/٢.
الانحراف المعياري لـ٤, ٦, ٨: الوسط ٦ والمربعات ٤, ٠, ٤ مجموعها ٨ وσ = √(٨/٣) ≈ ١٫٦٣.
Class activity
اختبار صغير. دون ملاحظات، حل سؤالًا من كل درس من الدروس الثلاثة للمراجعة، ثم تحقق من ملاحظاتك وعلّم المواضيع التي أخطأت فيها.
Practice
1
شكلان رباعيان متشابهان نسبة أضلاعهما ٢ : ٥. ضلع في الأصغر ٨ سم. أوجد الضلع المناظر في الأكبر.
٨ × ٥/٢ = ٢٠ سم.
2
عمود يبعد ١٠ م وزاوية ارتفاع قمته ٦٠°. أوجد ارتفاعه بقيمة مضبوطة.
١٠ × tan ٦٠° = ١٠√٣ ≈ ١٧٫٣٢ م.
3
أوجد معادلة المستقيم المار بـ(٠, ٣) و(٤, ١١) على صورة y = mx + b.
m = ٨/٤ = ٢ فـy = ٢x + ٣.
4
أوجد σ لـ٢, ٤, ٦, ٨.
الوسط ٥؛ المربعات ٩, ١, ١, ٩ مجموعها ٢٠؛ σ = √٥ ≈ ٢٫٢٤.
5
هل المستقيمان اللذان ميلاهما ٢/٣ و−٣/٢ متوازيان أم متعامدان أم لا هذا ولا ذاك؟
حاصل الضرب −١: متعامدان.