2
مراجعة: الدوال الجبرية النسبية ومجالاتها وتبسيطها والعمليات عليها
Mathematics Prep 3 Term 1, Units 1–4, Review
Goalأخلط أفكار الدوال النسبية: المجال والتبسيط والثقوب والعمليات.
New words
المجال · قيم x المسموحة: حيث المقام لا يساوي ٠بسّط · اختصر العوامل المشتركة (بعد التحليل)ثقب · نقطة مفقودة من الرسم عند عامل مُختصَرقسمة الكسور · نضرب في المقلوب مع إبقاء بسط المقسوم عليه ≠ ٠
Explanation
الدالة النسبية كسر من كثيرات حدود. نوجد المجال أولًا من المقام الأصلي ثم نختصر. مثال f(x) = (x² − ٩) ÷ (x² − ٥x + ٦) = (x − ٣)(x + ٣) ÷ ((x − ٢)(x − ٣)). المجال R − {٢, ٣}؛ والخط المتقطع x = ٢ يبيّن الموضع الذي لا توجد عنده أي نقطة للمنحنى. الاختصار يعطي (x + ٣) ÷ (x − ٢) لكن x = ٣ تبقى مستبعدة: عند x = ٣ للرسم ثقب في (٣, ٦). والجمع والطرح يحتاجان مقامًا مشتركًا، وx/(x − ٣) − ٣/(x − ٣) = (x − ٣)/(x − ٣) = ١ صحيحة فقط عندما x ≠ ٣. والقسمة: نضرب في المقلوب ونستبعد أيضًا مواضع صفر المقسوم عليه.
Worked examples
بسّط (x² − x − ٦) ÷ (x² − ٩) = (x − ٣)(x + ٢) ÷ ((x − ٣)(x + ٣)) = (x + ٢) ÷ (x + ٣) حيث x ≠ ٣ وx ≠ −٣.
اقسم ((x² − ٤) ÷ (x + ٣)) ÷ ((x + ٢) ÷ (x² − ٩)) = (x − ٢)(x + ٢)/(x + ٣) × (x − ٣)(x + ٣)/(x + ٢) = (x − ٢)(x − ٣). المجال: x ≠ −٣, −٢, ٣.
اطرح x/(x − ٣) − ٣/(x − ٣) = (x − ٣)/(x − ٣) = ١ والمجال R − {٣}.
Class activity
صائد الثقوب. اختر دالة مثل (x − ١)(x + ٢) ÷ (x − ١). أين الثقب وما ارتفاعه؟
Practice
1
أوجد مجال f(x) = (x + ١) ÷ (x² − ١٦).
x² − ١٦ ≠ ٠ فالمجال R − {−٤, ٤}.
2
بسّط (x² − ٤) ÷ (x − ٢) وعيّن الثقب.
x + ٢ حيث x ≠ ٢؛ الثقب عند (٢, ٤).
3
اجمع ١/(x − ١) + ٢/(x − ١).
٣/(x − ١) حيث x ≠ ١.
4
هل f(x) = (x² − ١)/(x − ١) وg(x) = x + ١ متساويتان؟ لماذا؟
لا: مجالاهما مختلفان (f تستبعد ١).
5
اضرب (x/(x + ١)) × ((x + ١)/(x − ٢)).
x/(x − ٢) حيث x ≠ −١, ٢.