قانون سبيرمان r = 1 − 6ΣD² ÷ n(n² − 1): جدول الرتب والفروق D وD²
لنعرف مقدار اتفاق قائمتين في الترتيب نرتّب كل قائمة في الاتجاه نفسه، ثم نوجد لكل عنصر الفرق D بين رتبتيه. فإذا تطابق الترتيبان كانت كل D تساوي صفرًا. وكلما اختلف الترتيبان كبرت مربعات الفروق D²، فنجمعها ونعوّض المجموع في قانون سبيرمان r = ١ − ٦ΣD² ÷ n(n² − ١) حيث n عدد العناصر. والترتيبان المتطابقان يعطيان ΣD² = ٠ وr = ١، والترتيبان المتعاكسان تمامًا يعطيان r = −١. ونستعمل المربعات حتى لا تلغي الفروق الموجبة السالبة. أما الفروق العادية فمجموعها دائمًا صفر، وهذا فحص سريع لرتبك. وملاحظة: القانون دقيق إذا لم تكن هناك قيم متكررة؛ ومع التكرار يكون تقريبًا جيدًا، وهكذا يُستعمل في كتابنا. ويبيّن الجدول حكمين يقيّمان ثماني فطائر في معرض مدرسي (من ١٠). هنا ΣD² = ٦٫٥ وn = ٨ وn(n² − ١) = ٨ × ٦٣ = ٥٠٤، إذن r = ١ − ٦ × ٦٫٥ ÷ ٥٠٤ = ١ − ٣٩ ÷ ٥٠٤ = ٠٫٩٢٢٦.
| الفطيرة | الحكم 1 | الحكم 2 | الرتبة 1 | الرتبة 2 | D | D² |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 7 | 6 | 5 | 3.5 | 1.5 | 2.25 |
| 2 | 5 | 4 | 2.5 | 2 | 0.5 | 0.25 |
| 3 | 9 | 8 | 7 | 6 | 1 | 1 |
| 4 | 6 | 7 | 4 | 5 | −1 | 1 |
| 5 | 8 | 9 | 6 | 7 | −1 | 1 |
| 6 | 5 | 6 | 2.5 | 3.5 | −1 | 1 |
| 7 | 10 | 10 | 8 | 8 | 0 | 0 |
| 8 | 4 | 3 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| ΣD = 0 | ΣD² = 6.5 |
يرتّب صديقان كل منهما خمس مواد دراسية من الأحب (١) إلى الأقل حبًّا (٥) دون تكرار. أوجد D لكل مادة وتحقق أن ΣD = ٠ واحسب r. هل يتفقان؟