Week 15 · Term 1 review: correlation and regression, quartiles and spread, probability, conditional probability and independence · 3 lessons
1
مراجعة الوحدة الأولى: أشكال الانتشار ومعاملا بيرسون وسبيرمان وخط الانحدار والتنبؤ
Statistics Sec 3 Term 1, Units 1–3, Review
Goalأراجع الوحدة الأولى ببيانات جديدة: أمثّل شكل الانتشار، وأجد معامل بيرسون وخط الانحدار، وأتنبأ بحذر، وأجد معامل سبيرمان مع قيمة مكررة.
New words
معامل بيرسون r · يقيس علاقة خطية بين متغيرين مقيسينخط الانحدار y = a + bx · خط المربعات الصغرى الذي نتنبأ به داخل مدى البياناتمعامل سبيرمان r · ارتباط الرتب؛ والقيم المكررة تتقاسم متوسط مواضعها
Explanation
طرحت الوحدة الأولى ثلاثة أسئلة عن متغيرين: هل توجد علاقة، وما قوتها، وهل نتنبأ بها؟ يجيب شكل الانتشار عن الأول: فشكله يدل على النوع وضيقه يدل على القوة. وللبيانات المقيسة يقيس معامل بيرسون r = (nΣxy − Σx·Σy) ÷ (√(nΣx² − (Σx)²) × √(nΣy² − (Σy)²)) القوة، وللرتب يفعل معامل سبيرمان r = ١ − ٦ΣD² ÷ n(n² − ١) الشيء نفسه، وتأخذ القيم المكررة متوسط مواضعها. ولخط الانحدار y = a + bx المعاملان b = (nΣxy − Σx·Σy) ÷ (nΣx² − (Σx)²) وa = (Σy − bΣx) ÷ n؛ ويمرّ بنقطة المتوسطين، وإشارة b هي إشارة r. وهذا نادٍ مدرسي للجري من اختراعنا. لكل عدّاء من عشرة، x عدد حصص التدريب التي حضرها في الشهر و y الدقائق التي يحتاجها لقطع ٣ كيلومترات. يبيّن الشكل النقاط العشر والخط y = ٣٣٫٩٧ − ١٫٣٠٣x. ولا نستعمل خطًّا كهذا إلا لقيم x داخل مدى البيانات، وهو هنا من ٢ إلى ١١.
Worked examples
x
y
xy
x²
y²
2
31
62
4
961
3
30
90
9
900
4
28
112
16
784
5
29
145
25
841
6
26
156
36
676
7
24
168
49
576
8
25
200
64
625
9
22
198
81
484
10
21
210
100
441
11
19
209
121
361
65
255
1550
505
6649
المجاميع. يعطي الجدول xy وx² وy² لكل عدّاء مع المجاميع. مع n = ١٠: nΣxy − ΣxΣy = ١٥٥٠٠ − ٦٥ × ٢٥٥ = −١٠٧٥؛ nΣx² − (Σx)² = ٥٠٥٠ − ٤٢٢٥ = ٨٢٥؛ nΣy² − (Σy)² = ٦٦٤٩٠ − ٦٥٠٢٥ = ١٤٦٥. إذن r = −١٠٧٥ ÷ √(٨٢٥ × ١٤٦٥) = −١٠٧٥ ÷ ١٠٩٩٫٤ ≈ −٠٫٩٧٨: ارتباط عكسي قوي كما يوحي الشريط الهابط الضيق.
الخط والتنبؤات. b = −١٠٧٥ ÷ ٨٢٥ ≈ −١٫٣٠٣ وa = (٢٥٥ + ١٫٣٠٣ × ٦٥) ÷ ١٠ ≈ ٣٣٫٩٧ فيكون y = ٣٣٫٩٧ − ١٫٣٠٣x؛ وكل من b و r سالب كما يجب. عند x = ٦٫٥ (داخل المدى) تكون y ≈ ٢٥٫٥ دقيقة، وهذه نقطة المتوسطين لأن ٦٫٥ و٢٥٫٥ هما المتوسطان. وعند x = ٨ يعطي الخط ٢٣٫٥ بينما المشاهدة ٢٥ فالفرق ١٫٥. وعند x = ٣٠ يعطي الخط ٣٣٫٩٧ − ٣٩٫٠٩ ≈ −٥٫١ دقيقة وهذا مستحيل: فالقيمة ٣٠ بعيدة جدًّا عن مدى البيانات.
الملصق
نجوم ١
نجوم ٢
رتبة ١
رتبة ٢
D
D²
P1
4
5
5.5
7
−1.5
2.25
P2
2
1
2
1
1
1
P3
5
4
7
5.5
1.5
2.25
P4
3
3
3.5
4
−0.5
0.25
P5
3
2
3.5
2.5
1
1
P6
1
2
1
2.5
−1.5
2.25
P7
4
4
5.5
5.5
0
0
المجموع
0
9
سبيرمان مع القيم المكررة. يمنح حكمان من ١ إلى ٥ نجوم لسبعة ملصقات. تُعطى الرتب من أقل النجوم إلى أكثرها، وتأخذ النجوم المتساوية متوسط مواضعها: فملصقا الحكم الأول ذوا النجوم الثلاث في الموضعين ٣ و٤ فيأخذ كل منهما ٣٫٥. ومجموع العمود D يساوي ٠ (للتحقق) وΣD² = ٩ فيكون r = ١ − ٦ × ٩ ÷ (٧ × ٤٨) = ١ − ٥٤ ÷ ٣٣٦ = ٤٧/٥٦ ≈ ٠٫٨٣٩: اتفاق قوي.
Class activity
ارسم النقاط العشر لنادي الجري على ورق مربعات، وارسم الخط المار بالنقطتين (٢, ٣١٫٤) و(١١, ١٩٫٦). تحقق أن النقطة (٦٫٥, ٢٥٫٥) تقع عليه. ثم غيّر النقطة (١١, ١٩) إلى (١١, ٣١): هل يبقى شريط النقاط ضيقًا؟ خمّن هل يزيد r أم ينقص، وبيّن لماذا يستطيع نقطة واحدة أن تغيّر r كثيرًا.
