عندما لا يغيّر حدث احتمال الآخر: الأحداث المستقلة واختبار P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
يكون الحدثان مستقلين إذا كانت معرفة وقوع أحدهما لا تغيّر احتمال الآخر: P(A | B) = P(A). وبوضع ذلك في قاعدة الضرب P(A ∩ B) = P(A | B) × P(B) نحصل على الاختبار: يكون A و B مستقلين تمامًا عندما P(A ∩ B) = P(A) × P(B). فالاستقلال تحسمه الأعداد، لا الشعور بأن الحدثين لا علاقة بينهما. وقطعة النقود مع حجر النرد حالة واضحة لأن أيًّا منهما لا يؤثر في الآخر: P(صورة وزوجي) = ١/٢ × ١/٢ = ١/٤ وهذا يطابق ٣ من ١٢ زوجًا. لكن الأحداث على حجر نرد واحد قد تخدعنا. ليكن A «زوجي» = {٢, ٤, ٦} و B «لا يزيد على ٤» = {١, ٢, ٣, ٤} و C «لا يزيد على ٣» = {١, ٢, ٣}. إذن A ∩ B = {٢, ٤} فيكون P(A ∩ B) = ١/٣ = ١/٢ × ٢/٣ وA و B مستقلان. أما A ∩ C = {٢} فيكون P(A ∩ C) = ١/٦ بينما P(A) × P(C) = ١/٤ فـ A و C غير مستقلين. والاختبار هو الذي يحسم لا الحدس.
| الحدثان على حجر نرد واحد | P(A ∩ B) | P(A) × P(B) | الحكم |
|---|---|---|---|
| A زوجي، B لا يزيد على ٤ | 2/6 = 1/3 | 1/2 × 2/3 = 1/3 | مستقلان |
| A زوجي، C لا يزيد على ٣ | 1/6 | 1/2 × 1/2 = 1/4 | غير مستقلين |
| الموقف | مستقلان؟ | السبب |
|---|---|---|
| تُلقى قطعة نقود مرتين: صورة أولًا وكتابة ثانيًا | نعم | القطعة لا تتذكر |
| تُسحب بطاقة وتُعاد ثم تُسحب أخرى | نعم | السحب الثاني يرى البطاقات نفسها |
| تُسحب بطاقة وتُحفظ ثم تُسحب أخرى | لا | بطاقة أقل في السحب الثاني |
| التلميذ متأخر؛ وحافلته متأخرة | لا | تأخر الحافلة يرجّح التأخر |
اكتب الأزواج الاثني عشر لقطعة نقود وحجر نرد (H١, …, T٦). عُدّ n(S) = ١٢ وn(صورة) = ٦ وn(زوجي) = ٦ وn(صورة وزوجي) = ٣. تحقق أن n(A ∩ B) × n(S) = n(A) × n(B) أي ٣ × ١٢ = ٦ × ٦، وهذا هو الاختبار مكتوبًا بالأعداد.