Week 14 · Independent and dependent events: the test P(A ∩ B) = P(A) × P(B), drawing with and without replacement, and independent against mutually exclusive · 3 lessons
2
استخدام الاستقلال: وقوع الحدثين معًا وحدث واحد على الأقل وواحد فقط ولا شيء، مع الإرجاع
Statistics Sec 3 Term 1, Unit 3, Lesson 3
Goalأستعمل الاستقلال لإيجاد احتمال الحدثين معًا، وواحد على الأقل، وواحد فقط، ولا واحد، ومنها السحب مع الإرجاع.
New words
مع الإرجاع · يُعاد العنصر فتكون السحبات مستقلةواحد فقط · يقع أحد الحدثين بالضبطواحد على الأقل · ١ − P(لا شيء) وهي أسرع طريقة
Explanation
إذا كان A و B مستقلين فإن المناطق الأربع في شكل فن تنتج من العددين P(A) وP(B). P(كلاهما) = P(A)P(B)؛ P(A فقط) = P(A)(١ − P(B))؛ P(B فقط) = (١ − P(A))P(B)؛ P(لا أحد منهما) = (١ − P(A))(١ − P(B)). ثم «واحد على الأقل» هو ١ مطروحًا منه «لا واحد»، و«واحد بالضبط» هو A فقط مع B فقط. يسدد لاعبان رمية حرة لكل منهما باستقلال، واحتمالا النجاح ٠٫٦ و٠٫٧. كلاهما ينجح: ٠٫٦ × ٠٫٧ = ٠٫٤٢. الأول فقط: ٠٫٦ × ٠٫٣ = ٠٫١٨. الثاني فقط: ٠٫٤ × ٠٫٧ = ٠٫٢٨. لا أحد: ٠٫٤ × ٠٫٣ = ٠٫١٢. ومجموعها ١. وعند المحاولات الكثيرة نستعمل الاختصار P(واحد على الأقل) = ١ − P(لا شيء). والسحب مع الإرجاع يُبقي السحبات مستقلة لأن الكيس هو نفسه في كل مرة.
Worked examples
يصل عمرو في موعده باحتمال ٠٫٨ وتصل سلمى باحتمال ٠٫٩، باستقلال. كلاهما في الموعد: ٠٫٨ × ٠٫٩ = ٠٫٧٢. لا أحد منهما: ٠٫٢ × ٠٫١ = ٠٫٠٢. واحد على الأقل: ١ − ٠٫٠٢ = ٠٫٩٨. واحد بالضبط: ٠٫٨ × ٠٫١ + ٠٫٢ × ٠٫٩ = ٠٫٠٨ + ٠٫١٨ = ٠٫٢٦. تحقق: ٠٫٧٢ + ٠٫٢٦ + ٠٫٠٢ = ١.
في كيس ٥ أقراص حمراء و٢ زرقاء. يُسحب قرصان مع الإرجاع. P(حح) = ٥/٧ × ٥/٧ = ٢٥/٤٩؛ P(زز) = ٢/٧ × ٢/٧ = ٤/٤٩؛ P(ح ثم ز) = ٥/٧ × ٢/٧ = ١٠/٤٩ وكذلك ز ثم ح. قرص من كل لون: ٢٠/٤٩. تحقق: ٢٥ + ٤ + ٢٠ = ٤٩.
محاولات كثيرة. يُلقى حجر نرد ثلاث مرات. P(لا ستة) = (٥/٦)³ = ١٢٥/٢١٦ فيكون P(ستة واحدة على الأقل) = ١ − ١٢٥/٢١٦ = ٩١/٢١٦ أي نحو ٠٫٤٢. ولو عددنا طرق الحصول على ستة مباشرة لطال الحل كثيرًا.
Class activity
ألقِ حجر نرد مرتين، ٣٠ مرة، وعُدّ كم مرة ظهر فيها ستة واحد على الأقل. قارن بـ ١ − ٢٥/٣٦ = ١١/٣٦ ≈ ٠٫٣١. لماذا ليس من اللازم أن يكون عدّك ٩ أو ١٠ تمامًا؟
Practice
1
تصل حافلتان في موعدهما باستقلال باحتمالين ٠٫٧ و٠٫٩. أوجد احتمال: كلتاهما، ولا واحدة، وواحدة بالضبط، وواحدة على الأقل.
كلتاهما ٠٫٦٣؛ لا واحدة ٠٫٣ × ٠٫١ = ٠٫٠٣؛ واحدة بالضبط ٠٫٧ × ٠٫١ + ٠٫٣ × ٠٫٩ = ٠٫٣٤؛ واحدة على الأقل ٠٫٩٧.
2
A و B مستقلان، P(A) = ٠٫٥ وP(B) = ٠٫٢. أوجد P(A فقط) وP(A ∪ B).
