الأحداث المستقلة وغير المستقلة
Answers are for parents and teachers.
1
ليكن S = {١, ٢, …, ١٢} و A «مضاعف للعدد ٣» و B «زوجي» و C «أكبر من ٨». هل A مستقل عن B؟ وهل A مستقل عن C؟
A = {٣, ٦, ٩, ١٢}. A ∩ B = {٦, ١٢}: ٢/١٢ = ١/٦ = ١/٣ × ١/٢ فهما مستقلان. A ∩ C = {٩, ١٢}: ٢/١٢ = ١/٦ لكن ١/٣ × ١/٣ = ١/٩ فهما غير مستقلين.
2
تسدد هناء وياسمين رمية حرة واحدة لكل منهما باستقلال، واحتمالا النجاح ٠٫٥ و٠٫٤. أوجد احتمال: نجاحهما معًا، ونجاح واحدة على الأقل، ونجاح واحدة بالضبط، وفشلهما معًا.
كلتاهما ٠٫٢؛ لا واحدة ٠٫٥ × ٠٫٦ = ٠٫٣؛ واحدة على الأقل ٠٫٧؛ واحدة بالضبط ٠٫٥ × ٠٫٦ + ٠٫٥ × ٠٫٤ = ٠٫٥. تحقق: ٠٫٢ + ٠٫٥ + ٠٫٣ = ١.
3
في علبة أقلام ٤ أقلام سوداء وقلمان أحمران. يُؤخذ قلمان بدون إرجاع. أوجد احتمال أن يكونا أسودين، وأن يكونا أحمرين، وأن يكون أحدهما من كل لون.
أسودان: ٤/٦ × ٣/٥ = ٢/٥. أحمران: ٢/٦ × ١/٥ = ١/١٥. واحد من كل لون: ١ − ٦/١٥ − ١/١٥ = ٨/١٥.
4
A و B مستقلان، P(A) = ٠٫٦ وP(B) = ٠٫٥. بيّن أن A و B′ مستقلان أيضًا.
P(A ∩ B′) = P(A) − P(A ∩ B) = ٠٫٦ − ٠٫٣ = ٠٫٣ وP(A) × P(B′) = ٠٫٦ × ٠٫٥ = ٠٫٣. هما متساويان، فـ A و B′ مستقلان.
5
P(A) = ٠٫٢ وP(B) = ٠٫٣. أوجد P(A ∪ B) إذا كان A و B متنافيين، وإذا كانا مستقلين.
متنافيان: ٠٫٢ + ٠٫٣ = ٠٫٥. مستقلان: ٠٫٢ + ٠٫٣ − ٠٫٠٦ = ٠٫٤٤. العددان نفساهما يعطيان اتحادين مختلفين لأن العلاقتين مختلفتان.