نظرية العزوم، وقوى على أضلاع مستطيل، واستنتاجات من عزمين عند نقطتين
Week 3 · Moments: the theorem of moments for forces meeting at a point, forces along the sides of a rectangle or square, and equal or opposite moments about two points · 3 lessons
3
تساوي العزمين حول نقطتين يعني أن المحصلة توازي المستقيم الواصل بينهما، وتضادّهما يعني أنها تمر بمنتصفه
Applied Mathematics Sec 3 Term 1, Unit 1, Lesson 1, Part 2
Goalأستعمل تساوي العزمين أو تضادهما بالنسبة لنقطتين لإيجاد اتجاه المحصلة، وأستعمل العزم الصفري لتحديد موضع خط عملها.
New words
توازي AB · لا تلتقي مع الخط AB وتبقى على بعد ثابت منهمنتصف AB · النقطة التي تقع في منتصف المسافة بين A وB
Explanation
عزم المحصلة R بالنسبة لنقطة يساوي R مضروبة في البعد ذي الإشارة من تلك النقطة إلى خط عمل R. خذ نقطتين A وB. إذا تساوى العزمان بالنسبة لـA وB وكانت R لا تساوي صفرًا فإن A وB على البعد ذي الإشارة نفسه من خط العمل وعلى الجانب نفسه منه: فخط العمل يوازي AB. وإذا تضاد العزمان (تساويا في المقدار واختلفا في الإشارة) كانت A وB على بعدين متساويين وعلى جانبين متقابلين من الخط، فيقطع الخط AB في منتصفه. وإذا كان العزم بالنسبة لنقطة C صفرًا فإن C تقع على خط العمل (أو تكون R = ٠). وهذه الحقائق الثلاث صحيحة للقوى المتلاقية في نقطة، وسنوسّعها في الأسبوع القادم إلى أي قوى مستوية. وهي تساعد على إيجاد اتجاه أو نقطة دون رسم المحصلة أبدًا. اصطلاح الإشارة: العزم عكس عقارب الساعة موجب وفي اتجاهها سالب.
Worked examples
تؤثر القوتان F₁ = (١, ٣) N وF₂ = (٤, −٢) N عند P(٠, ٢). المحصلة R = (٥, ١). بالنسبة لـB(−١, ٤): موضع P من B هو (١, −٢) وM = ١ × ١ − (−٢) × ٥ = ١١ N·m. بالنسبة لـC(٤, ٥): موضع P من C هو (−٤, −٣) وM = (−٤) × ١ − (−٣) × ٥ = ١١ N·m. العزمان متساويان فيوازي خط عمل R الخط BC. تحقق: BC = (٥, ١) في اتجاه R نفسه.
القوتان نفسهما وR = (٥, ١) عند P(٠, ٢). بالنسبة لـB(٧, ٦): موضع P من B هو (−٧, −٤) وM = (−٧) × ١ − (−٤) × ٥ = ١٣ N·m. بالنسبة لـC(١٣, ٢): موضع P من C هو (−١٣, ٠) وM = (−١٣) × ١ − ٠ × ٥ = −١٣ N·m. العزمان متضادان فيمر خط عمل R بمنتصف BC وهو (١٠, ٤). تحقق: من P تبعد النقطة (١٠, ٤) بمقدار ١٠ أفقيًا و٢ رأسيًا، و(١٠, ٢) = ٢ × (٥, ١): نعم، إنها على الخط.
تؤثر قوة F = (a, b) N عند A(٢, ٣). عزمها بالنسبة لـB(٠, ٠) يساوي +١٠ N·m وبالنسبة لـC(٤, ٠) يساوي +٢ N·m. أوجد F. بالنسبة لـB: ٢b − ٣a = ١٠. بالنسبة لـC: موضع A من C هو (−٢, ٣) فيكون −٢b − ٣a = ٢. بجمع المعادلتين: −٦a = ١٢ وa = −٢. ثم ٢b = ١٠ + ٣a = ٤ وb = ٢. إذن F = (−٢, ٢) N. وبحسب النظرية: العزمان غير متساويين ولا متضادين فالخط لا يوازي BC ولا يمر بمنتصفه.
Class activity
علّم نقطتين B وC على ورق مربعات وارسم سهم قوة من نقطة ثالثة A. مدّ خط السهم وقِس البعدين العموديين من B ومن C عليه. حرّك السهم مع إبقاء اتجاهه موازيًا لـBC: يبقى البعدان متساويين. ثم اجعل الخط يمر بمنتصف BC فترى أن البعدين متساويان لكن على جانبين متقابلين.
Practice
1
عزم محصلة بالنسبة لـA وبالنسبة لـB يساوي +١٨ N·m في كل منهما. ماذا تقول عن خط عملها؟
العزمان متساويان فخط العمل يوازي AB.
2
عزما المحصلة بالنسبة لـA وB هما +٥ N·m و−٥ N·m. ماذا تقول؟
تساوي العزمين يعني أن القوة توازي OB = (٦, ٣) فتكون (٢, k) = (٢, ١) وk = ١.
4
تؤثر القوة F = (٣, ١) N عند A(٢, −١). أوجد عزميها بالنسبة لـB(٠, ٠) وC(٣, ٢) (عكس عقارب الساعة موجب). هل يوازي خط العمل BC أم يمر بمنتصفه؟
بالنسبة لـB: ٢ × ١ − (−١) × ٣ = ٥. بالنسبة لـC: موضع A من C هو (−١, −٣) وM = (−١) × ١ − (−٣) × ٣ = ٨. العزمان غير متساويين ولا متضادين فلا ينطبق أي من القولين.
5
مجموع عزوم مجموعة قوى بالنسبة لـC يساوي ٠ والمحصلة لا تساوي صفرًا. ماذا يخبرك ذلك عن C؟
