نظرية العزوم، وقوى على أضلاع مستطيل، واستنتاجات من عزمين عند نقطتين
Week 3 · Moments: the theorem of moments for forces meeting at a point, forces along the sides of a rectangle or square, and equal or opposite moments about two points · 3 lessons
1
نظرية العزوم: مجموع عزوم عدة قوى تؤثر في نقطة واحدة يساوي عزم محصلتها حول أي نقطة، مع تحقق بالإحداثيات
Applied Mathematics Sec 3 Term 1, Unit 1, Lesson 1, Part 2
Goalأبيّن أن مجموع عزوم القوى المؤثرة في نقطة واحدة بالنسبة لأي نقطة يساوي عزم محصلتها، وأستعمله مع الإحداثيات.
New words
نظرية العزوم · مجموع عزوم القوى المؤثرة في نقطة واحدة بالنسبة لـO يساوي عزم محصلتها بالنسبة لـOالمحصلة R · القوة الوحيدة المساوية للمجموع الاتجاهي للقوى R = F₁ + F₂ + …خط عمل المحصلة · الخط المار بنقطة التأثير في اتجاه R
Explanation
لنفرض أن القوى F₁ وF₂ وF₃ تؤثر كلها في النقطة نفسها A(x, y) وأن R محصلتها، ومركبتا R هما مجموعا المركبات: Rx = ΣF_x وRy = ΣF_y. عزم كل قوة بالنسبة لـO هو x Fy − y Fx بالقيمتين x وy نفسيهما لكل القوى. بالجمع نحصل على x(ΣF_y) − y(ΣF_x) وهذا بالضبط x Ry − y Rx أي عزم R. فالعزوم تُجمع كما تُجمع القوى: مجموع عزوم القوى بالنسبة لأي نقطة يساوي عزم محصلتها بالنسبة لتلك النقطة. وهذه هي نظرية العزوم للقوى المتلاقية في نقطة. وهي تتيح لنا استبدال عزوم كثيرة بعزم واحد أو إيجاد عزم قوة لا نستطيع قياسها مباشرة. وهناك حالة خاصة مفيدة جدًا: إذا كان مجموع العزوم بالنسبة لـO صفرًا فإن خط عمل R يمر بالنقطة O (أو تكون R القوة الصفرية). اصطلاح الإشارة: العزم عكس عقارب الساعة موجب وفي اتجاهها سالب.
تؤثر القوتان F₁ = (−٤, ١) N وF₂ = (١, −٣) N عند A(٣, ٢). عزماهما بالنسبة لـO: ٣ × ١ − ٢ × (−٤) = +١١ و٣ × (−٣) − ٢ × ١ = −١١ ومجموعهما صفر. إذن عزم المحصلة R = (−٣, −٢) بالنسبة لـO صفر فيمر خط عملها بالنقطة O. وفعلًا تتجه R من A نحو O مباشرة لأن (−٣, −٢) توازي (٣, ٢).
Class activity
على ورق مربعات علّم نقطة A وارسم منها سهمي قوتين (١ cm لكل ١ N) ثم ارسم محصلتهما بإتمام متوازي الأضلاع. اختر أي نقطة O وقِس الأبعاد العمودية الثلاثة من O على الخطوط الثلاثة. تحقق من أن F₁ × الذراع₁ ± F₂ × الذراع₂ يساوي R × الذراع مع مراعاة اتجاهي الدوران.
Practice
1
لقوتين تؤثران في نقطة واحدة عزمان ٩ N·m و−٤ N·m بالنسبة لـO (عكس عقارب الساعة موجب). ما عزم محصلتهما بالنسبة لـO؟
٩ + (−٤) = ٥ N·m عكس عقارب الساعة.
2
تؤثر القوتان F₁ = (١, ٢) N وF₂ = (٣, −١) N عند A(٢, ٢). أوجد عزم كل منهما بالنسبة لـO وعزم محصلتهما (عكس عقارب الساعة موجب).
