نظرية العزوم، وقوى على أضلاع مستطيل، واستنتاجات من عزمين عند نقطتين
Answers are for parents and teachers.
1
تؤثر القوى F₁ = (٤, −٢) N وF₂ = (−١, ٥) N وF₃ = (٢, ٢) N عند A(−١, ٣). أوجد عزم محصلتها بالنسبة لـB(٢, −١) بطريقتين: مجموع العزوم الثلاثة، وعزم R (عكس عقارب الساعة موجب).
موضع A من B هو (−٣, ٤). M₁ = (−٣)(−٢) − ٤ × ٤ = −١٠ وM₂ = (−٣)(٥) − ٤ × (−١) = −١١ وM₃ = (−٣)(٢) − ٤ × ٢ = −١٤ والمجموع −٣٥ N·m. وR = (٥, ٥): (−٣)(٥) − ٤ × ٥ = −٣٥ N·m. الإجابتان متفقتان.
2
مستطيل ABCD فيه AB = ١٠ cm وBC = ٦ cm. تؤثر قوى ٣ N و٢ N و١ N و١ N على امتداد AB وBC وDC وAD (من A إلى B ومن B إلى C ومن D إلى C ومن A إلى D). أثبت أن المحصلة تمر بالنقطة E على BC حيث BE = ٤ cm وأوجد مقدارها.
العزوم بالنسبة لـE (عكس عقارب الساعة موجب): AB تبعد ٤ cm أسفل E وE على يسارها: +٣ × ٤ = +١٢. BC تمر بـE: ٠. DC تبعد ٢ cm فوق E وE على يمينها: −١ × ٢ = −٢. AD تبعد ١٠ cm يسار E وتتجه إلى أعلى: −١ × ١٠ = −١٠. المجموع ٠ فتمر R بـE. وR = (٣ + ١, ٢ + ١) = (٤, ٣) أي R = ٥ N.
3
مربع ABCD طول ضلعه ١٠ cm. لقوى ٦ N على AB (من A إلى B) و٧ N على DC (من D إلى C) وF على BD (من B إلى D) محصلة تمر بالنقطة E على BC حيث BE = ٧ cm. أوجد F (عكس عقارب الساعة موجب).
العزوم بالنسبة لـE: AB تبعد ٧ cm أسفل E: +٦ × ٧ = +٤٢. وDC تبعد ٣ cm فوق E وE على يمينها: −٧ × ٣ = −٢١. تؤثر F عند B الواقعة على BC تحت E مباشرة بـ٧ cm ومركبتاها (−k, k) حيث F = k√٢: العزم ٠ × k − (−٧)(−k) = −٧k. إذن ٤٢ − ٢١ − ٧k = ٠ وk = ٣ وF = ٣√٢ ≈ ٤٫٢٤ N.
4
تؤثر القوة F = (٢, −٤) N عند A(٣, ١). أوجد عزومها بالنسبة لـB(٠, ٠) وC(١, −٢) وD(٦, ٢) (عكس عقارب الساعة موجب). ماذا تخبرك النتائج الثلاث عن خط العمل؟
بالنسبة لـB: ٣ × (−٤) − ١ × ٢ = −١٤. بالنسبة لـC: موضع A من C هو (٢, ٣) و٢ × (−٤) − ٣ × ٢ = −١٤. بالنسبة لـD: موضع A من D هو (−٣, −١) و(−٣)(−٤) − (−١)(٢) = ١٤. B وC: متساويان فيوازي الخط BC (وBC = (١, −٢) توازي F). B وD: متضادان فيمر الخط بمنتصف BD وهو (٣, ١) = A.
5
تؤثر قوة F عند A(٣, −١). عزمها بالنسبة لـO يساوي +٧ N·m وبالنسبة لـB(١, ٢) يساوي ٠. أوجد F.
لتكن F = (a, b). بالنسبة لـO: ٣b − (−١)a = ٣b + a = ٧. بالنسبة لـB: موضع A من B هو (٢, −٣) فيكون ٢b − (−٣)a = ٢b + ٣a = ٠ ومنه a = −٢b/٣. إذن ٣b − ٢b/٣ = ٧ و٧b/٣ = ٧ وb = ٣ وa = −٢. F = (−٢, ٣) N (ويمر خطها بالنقطة B كما يدل العزم الصفري).