Week 13 · Resultant couple: a system equivalent to a couple, forces along the sides of a triangle, and of a closed polygon · 3 lessons
1
نظام قوى مستوية يكافئ ازدواجًا: المحصلة تساوي صفرًا ومجموع العزوم لا يساوي صفرًا، ولماذا لا تكفي المحصلة الصفرية وحدها
Applied Mathematics Sec 3 Term 1, Unit 3, Lesson 2, Part 1
Goalتعرّف متى يكافئ نظام من القوى المستوية ازدواجًا (محصلة صفر وعزم لا يساوي صفرًا) وأوجد عزمه.
New words
يكافئ ازدواجًا · المحصلة صفر ومجموع العزوم لا يساوي صفرًاواحد حول أي نقطة · حين R = ٠ يكون لمجموع العزوم القيمة نفسها حول أي نقطة
Explanation
لأي نظام من القوى المستوية نسأل سؤالين. الأول: ما المحصلة R = ΣF؟ والثاني: ما مجموع العزوم ΣM حول نقطة؟ (١) R ≠ ٠: يكافئ النظام قوة واحدة. (٢) R = ٠ وΣM = ٠: الجسم متزن. (٣) R = ٠ وΣM ≠ ٠: يكافئ النظام ازدواجًا عزمه ΣM. في الحالة (٣) لا يتحرك الجسم كله لكنه يدور، والعزم واحد حول أي نقطة فيصح استعمال أي نقطة لإيجاده. الشرطان لازمان: R = ٠ وحده لا يكفي (فهو يسمح بوجود ازدواج)، وΣM = ٠ حول نقطة واحدة لا يكفي (قوة تمر بتلك النقطة عزمها صفر). والقوى المتلاقية في نقطة واحدة التي محصلتها صفر تكون متزنة دائمًا لأن عزومها حول تلك النقطة كلها أصفار، فلا تكوّن ازدواجًا أبدًا. اصطلاح الإشارة: عكس عقارب الساعة موجب، وللقوى على قضيب نعتبر الاتجاه إلى أعلى موجبًا.
Worked examples
قضيب خفيف AB طوله ٢٠ cm عليه ١٢ N إلى أعلى عند A و٥ N إلى أسفل عند C (حيث AC = ٦ cm) و٧ N إلى أسفل عند B. بيّن أن النظام يكافئ ازدواجًا وأوجد عزمه (عكس عقارب الساعة موجب). الحل: R = ١٢ − ٥ − ٧ = ٠ (الاتجاه إلى أعلى موجب). العزوم حول A (المسافة إلى يمين A والقوة إلى أعلى عزمها موجب): ٠ − ٥ × ٦ − ٧ × ٢٠ = −٣٠ − ١٤٠ = −١٧٠ N·cm. لا يساوي صفرًا فهو ازدواج في اتجاه عقارب الساعة عزمه ١٧٠ N·cm. تحقق حول B: تقع A على بعد ٢٠ cm إلى اليسار وC على بعد ١٤ cm إلى اليسار: ١٢ × (−٢٠) − ٥ × (−١٤) = −٢٤٠ + ٧٠ = −١٧٠ N·cm وهو العزم نفسه.
على قضيب خفيف AB طوله ٨ cm قوة ٩ N إلى أعلى عند A وقوة P نيوتن إلى أسفل عند C (حيث AC = ٣ cm) وقوة Q نيوتن إلى أسفل عند B. النظام يكافئ ازدواجًا عزمه ٥٧ N·cm في اتجاه عقارب الساعة. أوجد P وQ. الحل: R = ٠ يعطي P + Q = ٩. العزوم حول A (عكس عقارب الساعة موجب): −٣P − ٨Q = −٥٧. بالتعويض P = ٩ − Q: −٢٧ + ٣Q − ٨Q = −٥٧ فيكون −٥Q = −٣٠ وQ = ٦ وP = ٣. تحقق: −٣ × ٣ − ٨ × ٦ = −٩ − ٤٨ = −٥٧.
Class activity
ضع مسطرة على المكتب واضغط بثلاثة أطراف أصابع: عند كل طرف وعند المنتصف، بحيث تتوازن الضغطات في المجموع (الطرفان يضغطان إلى أسفل والمنتصف يضغط إلى أعلى بقوة ضعفيهما). هل تدور المسطرة؟ حرّك الآن إصبع المنتصف قليلًا نحو أحد الطرفين مع إبقاء الضغط الكلي متزنًا: هل تدور؟ فسّر ذلك بدلالة R وΣM.
Practice
1
قضيب خفيف AB طوله ٢٤ cm عليه ١٥ N إلى أعلى عند A و٩ N إلى أسفل عند C (حيث AC = ١٠ cm) و٦ N إلى أسفل عند B. بيّن أنه ازدواج وأوجد عزمه (عكس عقارب الساعة موجب).
R = ١٥ − ٩ − ٦ = ٠. حول A: −٩ × ١٠ − ٦ × ٢٤ = −٩٠ − ١٤٤ = −٢٣٤ N·cm (في اتجاه عقارب الساعة).
2
القوى (٢, ١) N عند O(٠, ٠) و(−١, ٣) N عند P(١, ٠) و(−١, −٤) N عند Q(٠, ٢) تؤثر في مستوٍ (بالمتر). أوجد R ومجموع العزوم حول O (عكس عقارب الساعة موجب). بماذا يكافئ النظام؟
القوى (٣, ١) و(−١, ٢) و(−٢, −٣) نيوتن تؤثر كلها عند النقطة P(٤, ٥). هل النظام ازدواج؟ وما هو؟
R = (٠, ٠) لكن عزومها حول P كلها صفر فيكون ΣM = ٠: القوى متزنة وليست ازدواجًا.
4
على قضيب خفيف AB طوله ١٥ cm قوة ٨ N إلى أعلى عند A وقوة P نيوتن إلى أسفل عند C (حيث AC = ٥ cm) وقوة Q نيوتن إلى أسفل عند B. النظام ازدواج في اتجاه عقارب الساعة عزمه ٩٠ N·cm. أوجد P وQ.
