نظرية العزوم، وقوى على أضلاع مستطيل، واستنتاجات من عزمين عند نقطتين
Week 3 · Moments: the theorem of moments for forces meeting at a point, forces along the sides of a rectangle or square, and equal or opposite moments about two points · 3 lessons
2
قوى على أضلاع مستطيل أو مربع: إثبات أن المحصلة تمر بنقطة معلومة وإيجاد قوة مجهولة
Applied Mathematics Sec 3 Term 1, Unit 1, Lesson 1, Part 2
Goalآخذ عزوم قوى تؤثر على امتداد أضلاع مستطيل أو مربع لأبيّن أن المحصلة تمر بنقطة معينة وأوجد قوة مجهولة.
New words
قوة على امتداد ضلع · قوة خط عملها ضلع من أضلاع الشكل، وتُسمى باتجاهها: AB تعني من A إلى Bالمستطيل ABCD · شكل رباعي أضلاعه الأربعة قوائم؛ الضلعان AB وDC متقابلان وكذلك BC وAD
Explanation
لقوة على امتداد ضلع في مستطيل عزم سهل جدًا بالنسبة لأي نقطة E: ذراعها هو البعد العمودي من E على ذلك الضلع، أي |M| = F × (بعد E عن الضلع). وإذا وقعت E على خط الضلع كان العزم ٠. وللحصول على الإشارة دون إحداثيات اتبع سهم القوة بنظرك: إذا كانت E على يسارك فالقوة تدير حول E عكس عقارب الساعة (موجب)، وإذا كانت على يمينك فالدوران في اتجاه عقارب الساعة (سالب). (فالقوة نحو اليمين أسفل E تكون E على يسارها وهي تدير فعلًا عكس عقارب الساعة.) ولإثبات أن المحصلة تمر بالنقطة E اجمع عزوم كل القوى بالنسبة لـE: إذا كان المجموع ٠ فإن عزم المحصلة بالنسبة لـE صفر بنظرية العزوم فيمر خط عملها بـE (والمحصلة ليست صفرًا لأن القوى لا تلغي بعضها). ولإيجاد قوة مجهولة استعمل الشرط نفسه واحلّ لها. أما القوة على امتداد قطر فتحتاج إلى ذراعها، أو إلى مركبتيها على الضلعين عند النقطة نفسها.
Worked examples
للمستطيل ABCD الضلعان AB = ١٢ cm وBC = ٩ cm. تؤثر قوى ٨ N و٥ N و٢ N و١ N على امتداد AB وBC وDC وAD (الاتجاهات من A إلى B ومن B إلى C ومن D إلى C ومن A إلى D). أثبت أن المحصلة تمر بالنقطة E على BC حيث BE = ٣ cm. العزوم بالنسبة لـE (عكس عقارب الساعة موجب): القوة ٨ N على AB تبعد ٣ cm أسفل E وE على يسارها: +٨ × ٣ = +٢٤. القوة ٥ N على BC تمر بـE: ٠. القوة ٢ N على DC تبعد ٦ cm فوق E وE على يمينها: −٢ × ٦ = −١٢. القوة ١ N على AD تبعد ١٢ cm يسار E وتتجه إلى أعلى فتكون E على يمينها: −١ × ١٢ = −١٢. المجموع ٢٤ + ٠ − ١٢ − ١٢ = ٠. إذن تمر المحصلة (١٠, ٦) N ومقدارها نحو ١١٫٦٦ N بالنقطة E.
مربع ABCD طول ضلعه ٨ cm. تؤثر قوى ٥ N و٤ N و١ N على امتداد AB وBC وDC (من A إلى B ومن B إلى C ومن D إلى C) وقوة F على امتداد AC (من A إلى C). تمر المحصلة بالنقطة E على BC حيث BE = ٣ cm. أوجد F. العزوم بالنسبة لـE: AB: E فوقها بـ٣ cm وعلى يسار القوة: +٥ × ٣ = +١٥. BC: ٠. DC: E تحت الخط بـ٥ cm وعلى يمين القوة: −١ × ٥ = −٥. للقوة القطرية F مركبتان كل منهما F/√٢ على المحورين وتؤثر عند A التي تبعد ٨ cm يسار E و٣ cm تحتها: العزم (−٨)(F/√٢) − (−٣)(F/√٢) = −٥F/√٢. المجموع ١٥ − ٥ − ٥F/√٢ = ٠ فتكون F = ١٠√٢ / ٥ = ٢√٢ ≈ ٢٫٨٣ N. والمحصلة (٥ + ١ + ٢, ٤ + ٢) = (٨, ٦) أي R = ١٠ N.
Class activity
ارسم على ورق مربعات مستطيلًا ١٢ cm في ٩ cm وعلّم E على BC على بعد ٣ cm من B، وارسم أسهم القوى الأربع للمثال الأول على أضلاعها (استعمل ١ cm لكل ٢ N لأن مقياس ١ cm لكل ١ N طويل). لكل قوة قِس بعد E عن ضلعها واكتب عزمها بإشارته. تحقق من أن المجموع صفر.
Practice
1
مربع ABCD طول ضلعه ٥ cm. تؤثر قوة ٦ N على امتداد AB (من A إلى B). أوجد عزمها بالنسبة لـD (عكس عقارب الساعة موجب).
تبعد D عن الخط AB مسافة ٥ cm وهي على يسار السهم: +٦ × ٥ = +٣٠ N·cm.
2
في المربع نفسه تؤثر قوة ٦ N على امتداد BA (من B إلى A). أوجد عزمها بالنسبة لـC (عكس عقارب الساعة موجب).
تبعد C عن الخط ٥ cm إلى أعلى والسهم يتجه نحو اليسار فتكون C على يمينه: −٦ × ٥ = −٣٠ N·cm.
3
مستطيل ABCD فيه AB = ٨ cm وBC = ٥ cm. تؤثر قوة ٤ N على امتداد BC (من B إلى C). أوجد عزمها بالنسبة لـA (عكس عقارب الساعة موجب).
تبعد A عن الخط BC مسافة ٨ cm وهي على يسار السهم المتجه إلى أعلى: +٤ × ٨ = +٣٢ N·cm.
4
مستطيل ABCD فيه AB = ٨ cm وBC = ٥ cm. تؤثر قوى ٦ N و٥ N و٦ N على امتداد AB وBC وDC (من A إلى B ومن B إلى C ومن D إلى C). أثبت أن المحصلة تمر بمنتصف BC وليكن E.
تبعد E عن AB وعن DC مسافة ٢٫٥ cm. AB: +٦ × ٢٫٥ = +١٥؛ BC تمر بـE: ٠؛ DC: E على يمين القوة: −٦ × ٢٫٥ = −١٥. المجموع ٠ فتمر المحصلة (١٢, ٥) N بالنقطة E.
5
مربع ABCD طول ضلعه ٦ cm ومركزه O. تؤثر قوى ٢ N و٣ N و٤ N على امتداد AB وBC وCD (من A إلى B ومن B إلى C ومن C إلى D). أوجد مجموع عزومها بالنسبة لـO (عكس عقارب الساعة موجب).
يبعد كل ضلع عن O مسافة ٣ cm وتقع O على يسار كل سهم (فالأسهم تدور حول المربع عكس عقارب الساعة): ٣ × (٢ + ٣ + ٤) = +٢٧ N·cm.
