2
استخدام نسبة المساحتين: المساحة التي يقطعها مستقيم موازٍ وشبه المنحرف الباقي والمحيط من نسبة المساحتين
Mathematics Sec 1 Term 1, Unit 2, Lesson 3
Goalأوجد المساحة التي يقطعها مستقيم يوازي ضلعًا ومساحة شبه المنحرف الباقي وأطوالًا أخرى من نسبة المساحتين.
New words
شبه المنحرف · شكل رباعي فيه ضلعان متوازيانالكل ناقص الجزء · مساحة شبه المنحرف = مساحة المثلث الكبير − مساحة المثلث الصغير
Explanation
المستقيم DE الموازي لـ BC يفصل من △ABC مثلثًا صغيرًا ADE و△ADE ~ △ABC. ونسبة التشابه k = AD/AB (الجزء إلى الكل وليس AD/DB!). فتكون مساحة(ADE) = k² × مساحة(ABC). وشبه المنحرف DBCE الباقي هو الكل ناقص الجزء: مساحة(DBCE) = مساحة(ABC) − مساحة(ADE). ولإيجاد k من نسبة مثل AD : DB = ٣ : ٢ نجمع الأجزاء: AB يساوي ٣ + ٢ = ٥ أجزاء فإن k = ٣/٥. ونستخدم الأفكار نفسها بالعكس: من المساحتين نجد k ثم الأطوال أو المحيطات. وعادة جيدة أن نتحقق: المثلث الصغير مساحته أصغر، ومجموع شبه المنحرف والمثلث يعطي الكل.
| الجزء | المساحة |
|---|---|
| △ADE (المثلث الصغير) | k² × area(ABC) |
| شبه المنحرف DBCE | مساحة(ABC) − مساحة(ADE) |
Worked examples
DE ∥ BC وAD : DB = ٣ : ٢ ومساحة(ABC) = ٢٠٠ م². AB = ٥ أجزاء فإن k = ٣/٥ ومساحة(ADE) = ٢٠٠ × ٩/٢٥ = ٧٢ م². وشبه المنحرف مساحته ٢٠٠ − ٧٢ = ١٢٨ م².
AD = ٣ × DB ومساحة(ADE) = ٧٢ سم². AB = ٤ أجزاء فإن AD/AB = ٣/٤. ومساحة(ABC) = ٧٢ ÷ ٩/١٦ = ٧٢ × ١٦/٩ = ١٢٨ سم². وشبه المنحرف ١٢٨ − ٧٢ = ٥٦ سم².
شراع فلوكة مثلث مساحته ١٢ م². شراع مشابه أطول مرتين في كل ضلع مساحته ١٢ × ٢² = ٤٨ م². وبسعر ١٥ جنيهات للمتر المربع من القماش تزيد التكلفة من ١٨٠ جنيهًا إلى ٧٢٠ جنيهات: أربعة أمثال وليس مثلين.
Class activity
قدّر أولًا. مثلث مساحته ١٠٠ سم². مستقيم موازٍ يقطع مثلثًا بنسبة k = ١/٢. قبل الحساب خمّن: هل الجزء المقطوع نصف المساحة؟ ثم احسب وقارن.
Practice
1
DE ∥ BC وAD/AB = ٢/٣ ومساحة(ABC) = ٩٠ سم². أوجد مساحة(ADE) وشبه المنحرف.
مساحة(ADE) = ٩٠ × ٤/٩ = ٤٠ سم². وشبه المنحرف ٩٠ − ٤٠ = ٥٠ سم².
2
DE ∥ BC وAD = ٢ وDB = ٣. إذا كانت مساحة(ADE) = ٨ سم² فأوجد مساحة(ABC).
k = ٢/٥ فإن مساحة(ABC) = ٨ ÷ ٤/٢٥ = ٥٠ سم².
3
نسبة مساحتي مثلثين متشابهين ٩ : ١٦ ومحيط الأصغر ٤٥ سم. أوجد المحيط الآخر.
k = ٣ : ٤ فإن ٤٥ × ٤/٣ = ٦٠ سم.
4
نسبة أضلاع مثلثين متشابهين ٣ : ٥ ومساحة الأكبر ٤٠٠ سم². أوجد مساحة الأصغر.
٤٠٠ × ٩/٢٥ = ١٤٤ سم².
5
يقول طالب: «AD : DB = ١ : ٢ فمساحة △ADE نصف مساحة شبه المنحرف». ما الخطأ؟
k = AD/AB = ١/٣ فمساحة ADE تساوي ١/٩ من مساحة ABC وشبه المنحرف ٨/٩. نسبة ADE : DBCE هي ١ : ٨.