Week 6 · Similar triangles: the parallel-line corollary, the altitude to the hypotenuse, and the SSS and SAS cases · 3 lessons
2
الارتفاع المرسوم على الوتر في المثلث القائم: ثلاثة مثلثات متشابهة والعلاقتان (DA)² = DB × DC و(AB)² = BC × BD
Mathematics Sec 1 Term 1, Unit 2, Lesson 2
Goalأثبت العلاقات بين أضلاع المثلث القائم والارتفاع المرسوم على وتره وأستخدمها.
New words
الوتر · أطول أضلاع المثلث القائم المقابل للزاوية القائمةالارتفاع · العمود النازل من رأس على الضلع المقابلالوسط المتناسب · العدد x وسط متناسب بين a وb إذا كان x² = a × b
Explanation
في △ABC القائم في A نرسم AD عموديًّا على BC. يقسم الارتفاع المثلث الكبير إلى مثلثين قائمين أصغر، والمثلثات الثلاثة كلها متشابهة. △DBA و△ABC يشتركان في الزاوية B ولكل منهما زاوية قائمة فإن △DBA ~ △ABC. و△DAC و△ABC يشتركان في الزاوية C ولكل منهما زاوية قائمة فإن △DAC ~ △ABC. إذن △DBA ~ △DAC. وبكتابة تناسب الأضلاع المتناظرة نحصل على ثلاث حقائق: DA/DC = DB/DA فإن (DA)² = DB × DC (الارتفاع وسط متناسب بين جزأي الوتر)؛ وAB/BC = BD/AB فإن (AB)² = BC × BD؛ وAC/BC = CD/AC فإن (AC)² = CB × CD. وبجمع الأخيرتين نحصل على AB² + AC² = BC(BD + CD) = BC² وهذه نظرية فيثاغورس من جديد. تذكّر: (DA)² = DB × DC وليس DA = DB × DC.
Worked examples
في مثلث قائم في A وAD ⊥ BC: BD = ٤ وDC = ٩. فإن (AD)² = ٤ × ٩ = ٣٦ وAD = ٦. وBC = ١٣. و(AB)² = BC × BD = ١٣ × ٤ = ٥٢ فإن AB = ٢√١٣. و(AC)² = CB × CD = ١٣ × ٩ = ١١٧ فإن AC = ٣√١٣. للتحقق: ٥٢ + ١١٧ = ١٦٩ = ١٣² ✓.
في مثلث من النوع نفسه AD = ١٢ وBD : DC = ٤ : ٩. لنفرض BD = ٤k وDC = ٩k. فإن ٣٦k² = ١٤٤ وk = ٢ فيكون BD = ٨ وDC = ١٨ وBC = ٢٦. AB² = ٢٦ × ٨ = ٢٠٨ فإن AB = ٤√١٣؛ وAC² = ٢٦ × ١٨ = ٤٦٨ فإن AC = ٦√١٣. للتحقق: ٢٠٨ + ٤٦٨ = ٦٧٦ = ٢٦² ✓.
