3
جمع الأعداد المركبة وطرحها وضربها والعددان المترافقان والقسمة على عدد مركب
Mathematics Sec 1 Term 1, Unit 1, Lesson 1
Goalأجمع الأعداد المركبة وأطرحها وأضربها وأقسمها، وأستخدم العدد المرافق.
New words
المرافق · المرافق للعدد a + bi هو a − bi (تتغير إشارة الجزء التخيلي فقط)جعل المقام حقيقيًّا · ضرب البسط والمقام في مرافق المقام فيصير المقام عددًا حقيقيًّا
Explanation
تتبع الأعداد المركبة قواعد الجبر المعتادة مع حقيقة إضافية واحدة: i² = −١. للجمع والطرح نجمع الأجزاء الحقيقية معًا والأجزاء التخيلية معًا. وللضرب نفك الأقواس ثم نعوّض i² = −١. مرافق العدد a + bi هو a − bi. ومجموع العدد ومرافقه هو ٢a وهو حقيقي، وحاصل ضربهما (a + bi)(a − bi) = a² − b²i² = a² + b² وهو حقيقي أيضًا. وهذا هو مفتاح القسمة: للقسمة على c + di نضرب البسط والمقام في المرافق c − di فيصير المقام العدد الحقيقي c² + d² ثم نكتب الناتج على الصورة a + bi. وانتبه إلى (٣ + i)²: هو ٩ + ٦i + i² = ٨ + ٦i وليس ٩ + ١.
| العملية | القاعدة | مثال |
|---|---|---|
| جمع | (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i | (٦ − ٢i) + (١ + ٥i) = ٧ + ٣i |
| ضرب | i² = −١ | (٣ + ٢i)(٤ − i) = ١٤ + ٥i |
| مرافقان | (a + bi)(a − bi) = a² + b² | (٥ − ٢i)(٥ + ٢i) = ٢٩ |
Worked examples
اجمع واطرح واضرب. (٦ − ٢i) + (١ + ٥i) = ٧ + ٣i. و(٤ + ٣i) − (١ − ٢i) = ٣ + ٥i. و(٣ + ٢i)(٤ − i) = ١٢ − ٣i + ٨i − ٢i² = ١٢ + ٥i + ٢ = ١٤ + ٥i.
اقسم ٥ + ٥i على ٢ − i. مرافق ٢ − i هو ٢ + i. البسط: (٥ + ٥i)(٢ + i) = ١٠ + ٥i + ١٠i + ٥i² = ٥ + ١٥i. والمقام: (٢ − i)(٢ + i) = ٤ + ١ = ٥. فالناتج (٥ + ١٥i)/٥ = ١ + ٣i. للتحقق: (١ + ٣i)(٢ − i) = ٢ − i + ٦i − ٣i² = ٥ + ٥i ✓.
أوجد (١ + i)⁸. أولًا (١ + i)² = ١ + ٢i + i² = ٢i. ثم (١ + i)⁸ = (٢i)⁴ = ١٦ × i⁴ = ١٦.
Class activity
اكتشف الخطأ. كتبت هناء (٣ + i)² = ٩ + ١ = ١٠. فُكّ المربع صحيحًا بثلاثة حدود وبيّن أي حقيقة نسيتها.
Practice
1
احسب (٢ − ٣i) + (٥ + ٤i).
٧ + i.
2
احسب (٦ + i)(٢ − ٣i).
١٢ − ١٨i + ٢i − ٣i² = ١٢ − ١٦i + ٣ = ١٥ − ١٦i.
3
اكتب مرافق ٤ + ٧i وحاصل ضرب العددين.
المرافق ٤ − ٧i. وحاصل الضرب ٤² + ٧² = ١٦ + ٤٩ = ٦٥.
4
احسب (١٠ − ٥i)/(١ − ٢i).
نضرب في ١ + ٢i: البسط (١٠ − ٥i)(١ + ٢i) = ١٠ + ٢٠i − ٥i − ١٠i² = ٢٠ + ١٥i والمقام ١ + ٤ = ٥. الناتج ٤ + ٣i. للتحقق: (٤ + ٣i)(١ − ٢i) = ١٠ − ٥i ✓.
5
فُكّ (٣ + i)².
٩ + ٦i + i² = ٩ + ٦i − ١ = ٨ + ٦i.