2
تساوي الدوال النسبية: المجال نفسه والقاعدة نفسها في أبسط صورة
Mathematics Prep 3 Term 1, Unit 2, Lesson 4
Goalأحدد هل تتساوى دالتان نسبيتان بمقارنة مجاليهما وقاعدتيهما في أبسط صورة.
New words
تساوي دالتين · دالتان لهما المجال نفسه والقيمة نفسها عند كل x في هذا المجالأبسط صورة · القاعدة بعد حذف كل عامل مشتركالمجال نفسه · المجموعتان Df وDg متساويتان تمامًامثال مضاد · قيمة واحدة لـx تبيّن أن دالتين مختلفتان
Explanation
تتساوى الدالتان f = g إذا تحقق شرطان: (١) لهما المجال نفسه Df = Dg؛ (٢) قاعدتاهما في أبسط صورة متطابقتان. وللاختبار نجد مجال كل دالة من المقام الأصلي، ثم نبسّط كل قاعدة ونقارن. وإذا تطابقت القاعدتان المبسّطتان واختلف المجالان فالدالتان غير متساويتين، مع أنهما تعطيان القيمة نفسها عند كل x معرّفتين عندها. وتكفي قيمة واحدة لـx تنتمي إلى مجال إحداهما دون الأخرى لنبيّن أنهما مختلفتان، كما في f(x) = (x² − ٤) ÷ (x − ٢) وg(x) = x + ٢: f(٢) غير موجودة لكن g(٢) = ٤.
| الشرط | كيف نتحقق منه |
|---|---|
| ١. المجال نفسه | أصفار المقامين الأصليين |
| ٢. القاعدة نفسها | نحلل ونحذف ونقارن |
| تحقق الشرطين | f = g |
| فشل أحدهما | f ≠ g |
Worked examples
هل f(x) = (x² − ٢x) ÷ (x² − ٤x + ٤) وg(x) = ٣x ÷ (٣x − ٦) متساويتان؟ للدالة f: x² − ٤x + ٤ = (x − ٢)² إذن Df = R − {٢} وf(x) = x(x − ٢) ÷ (x − ٢)² = x ÷ (x − ٢). وللدالة g: ٣x − ٦ = ٠ عند x = ٢ فـDg = R − {٢} وg(x) = ٣x ÷ (٣(x − ٢)) = x ÷ (x − ٢). المجال نفسه والقاعدة نفسها: f = g.
هل f(x) = (x² − ٤) ÷ (x − ٢) وg(x) = x + ٢ متساويتان؟ تُبسَّط f إلى x + ٢ وهي قاعدة g. لكن Df = R − {٢} وDg = R. المجالان مختلفان فـf ≠ g. البرهان: g(٢) = ٤ موجودة أما f(٢) فغير موجودة.
هل f(x) = ١ تساوي g(x) = (x² + ١) ÷ (x² + ١)؟ المقدار x² + ١ لا يساوي صفرًا أبدًا فـDg = R = Df وg(x) = ١. إذن متساويتان. أما h(x) = x ÷ x فتختلف عن f: Dh = R − {٠}.
Class activity
متساويتان أم لا؟ كوّن ثلاثة أزواج من الدوال: زوجًا متساويًا، وزوجًا له القاعدة نفسها ومجالان مختلفان، وزوجًا بقاعدتين مختلفتين. بادل شريكك ليصنّفها.
Practice
1
هل (x² − ١) ÷ (x − ١) وx + ١ متساويتان؟
لا. مجال الأولى R − {١} ومجال الثانية R.
2
هل x² ÷ x² و١ متساويتان؟
لا. مجال x² ÷ x² هو R − {٠} بينما مجال ١ هو R.
3
هل (x² + ٤) ÷ (x² + ٤) و١ متساويتان؟
نعم. x² + ٤ لا تساوي صفرًا فلكل منهما المجال R والقاعدة نفسها ١.
4
هل (x − ٣) ÷ (٣ − x) و−١ متساويتان؟
لا. الأولى تُبسَّط إلى −١ لكن مجالها R − {٣}، ومجال −١ هو R.
5
هل (x² − ٣x) ÷ (x² − ٦x + ٩) و٤x ÷ (٤x − ١٢) متساويتان؟
لكل منهما المجال R − {٣} وكلتاهما تُبسَّط إلى x ÷ (x − ٣). نعم.