2
المستقيمات المتوازية ميلاها متساويان: براهين والنقاط على استقامة واحدة
Mathematics Prep 3 Term 1, Unit 3, Lesson 6
Goalأستخدم تساوي الميلين لأبيّن توازي المستقيمات ووقوع النقاط على استقامة واحدة.
New words
مستقيمان متوازيان · لا يتقاطعان ولهما زاوية الميل نفسهانقاط على استقامة واحدة · نقاط تقع على مستقيم واحدمتوازي الأضلاع · شكل رباعي كل ضلعين متقابلين فيه متوازيانأثبت · بيّن بالأسباب أن العبارة صحيحة دائمًا
Explanation
مستقيمان غير رأسيين يتوازيان تمامًا عندما يتساوى ميلاهما: m₁ = m₂. السبب: المستقيمان المتوازيان يصنعان الزاوية θ نفسها مع محور السينات فتتساوى tan θ. ولنبيّن أن ثلاث نقاط A وB وC على استقامة واحدة نوجد ميل AB وميل BC: يشتركان في النقطة B فإذا تساوى الميلان كانت النقاط على مستقيم واحد. ولإثبات أن الشكل الرباعي متوازي أضلاع نبيّن أن لكل ضلعين متقابلين الميل نفسه. مثال: A(٠, ٠) وB(٤, ١) وC(٥, ٤) وD(١, ٣): ميل AB = ١/٤ = ميل DC وميل BC = ٣ = ميل AD فالشكل ABCD متوازي أضلاع.
Worked examples
هل المستقيمان AB (A(١, ١) وB(٤, ٧)) وCD (C(٢, −٣) وD(٥, ٣)) متوازيان؟ ميل AB = ٦/٣ = ٢ وميل CD = ٦/٣ = ٢: متساويان فـAB ∥ CD.
هل النقاط P(−٢, −٣) وQ(١, ٣) وR(٤, ٩) على استقامة واحدة؟ ميل PQ = ٦/٣ = ٢ وميل QR = ٦/٣ = ٢: نعم.
هل (٠, ٠) و(٢, ٣) و(٤, ٥) على استقامة واحدة؟ الميلان ٣/٢ و(٥ − ٣)/(٤ − ٢) = ١ مختلفان فلا.
Class activity
قضبان متوازية. ارسم شبكة ومستقيمًا يمر بـ(١, ١) ميله ٢. ثم ارسم مستقيمًا ثانيًا يمر بـ(٢, −٣) بالميل نفسه. هل يتقاطعان؟
Practice
1
هل المستقيم المار بـ(٠, ١) و(٢, ٥) يوازي المستقيم المار بـ(١, ٠) و(٤, ٦)؟
الميلان ٤/٢ = ٢ و٦/٣ = ٢: نعم.
2
أوجد k لتكون (١, ٢) و(٣, ٦) و(٥, k) على استقامة واحدة.
الميل ٢ فـk = ٦ + ٢ × ٢ = ١٠.
3
بيّن أن (٠, ٠) و(١, ٢) و(٢, ٤) على استقامة واحدة.
الميلان كلاهما ٢.
4
هل A(٠, ٠) وB(٤, ١) وC(٥, ٤) وD(١, ٣) متوازي أضلاع؟ أثبت.
ميل AB وDC هو ١/٤؛ وميل BC وAD هو ٣. نعم.
5
مستقيم زاوية ميله ٣٠°. ما ميل مستقيم يوازيه؟
الميل نفسه: tan ٣٠° = ١/√٣.