3
من نسبة واحدة إلى كل النسب، وإيجاد أضلاع المثلث القائم
Mathematics Prep 3 Term 1, Unit 3, Lesson 4
Goalأجد النسب الأخرى من نسبة واحدة معطاة، وأجد أضلاعًا مجهولة في مثلث قائم من نسبة.
New words
نسبة معطاة · القيمة الوحيدة لـsin أو cos أو tan التي أُعطيناهامعامل التكبير k · العدد الذي يضرب أطوال الأضلاع في أبسط صورةفيثاغورث · a² + b² = c² في المثلث القائمالقيمة المضبوطة · كسر وليس عددًا عشريًا مقربًا
Explanation
النسبة sin θ = ٣/٥ لا تعني أن الأضلاع هي ٣ و٥، بل أنها بنسبة ٣ : ٥. فنسمي الضلع المقابل ٣k والوتر ٥k. وتعطينا نظرية فيثاغورث الضلع الثالث: (٥k)² − (٣k)² = ١٦k² فالضلع المجاور ٤k. والآن تأتي كل النسب: cos θ = ٤/٥ وtan θ = ٣/٤. وإذا أُعطي طول حقيقي واحد وجدنا به k. الطريقة لأي نسبة معطاة: (١) نرسم مثلثًا قائمًا ونعلّم θ؛ (٢) نكتب الضلعين اللذين تعطيهما النسبة على صورة مضاعفات لـk؛ (٣) نجد الضلع الثالث بفيثاغورث؛ (٤) نقرأ النسب الأخرى؛ (٥) نستخدم الطول المعطى لإيجاد k والأضلاع الحقيقية.
Worked examples
sin θ = ٣/٥ والوتر ٢٠ سم. أوجد الضلعين الآخرين وcos θ وtan θ. المقابل ٣k والوتر ٥k = ٢٠ فـk = ٤. المقابل ١٢ سم والمجاور ٤k = ١٦ سم (تحقق: ١٢² + ١٦² = ٤٠٠ = ٢٠²). cos θ = ١٦/٢٠ = ٤/٥ وtan θ = ١٢/١٦ = ٣/٤.
cos θ = ٥/١٣. أوجد sin θ وtan θ والوتر إذا كان المجاور ١٥ م. المجاور ٥k والوتر ١٣k فالمقابل ١٢k (لأن ١٣² − ٥² = ١٤٤). sin θ = ١٢/١٣ وtan θ = ١٢/٥. وإذا كان ٥k = ١٥ فـk = ٣: الوتر ٣٩ م والمقابل ٣٦ م. تحقق: ١٥² + ٣٦² = ١٥٢١ = ٣٩².
tan θ = ٣/٤ والساق الأقصر ٩ سم. أوجد المحيط. الساقان ٣k = ٩ و٤k فـk = ٣: الساقان ٩ و١٢ والوتر ٥k = ١٥. المحيط ٩ + ١٢ + ١٥ = ٣٦ سم.
Class activity
مسألة السلّم. سلّم طوله ١٠ م يستند إلى حائط ويصل إلى ارتفاع ٨ م. أوجد sin θ (θ مع الأرض) ثم cos θ وبعد قدم السلّم عن الحائط. تحقق بفيثاغورث.
Practice
1
sin θ = ٥/١٣ والوتر ٢٦. أوجد الضلعين الآخرين وcos θ وtan θ.
k = ٢: المقابل ١٠ والمجاور ٢٤. cos θ = ١٢/١٣ وtan θ = ٥/١٢.
2
cos θ = ٤/٥ والضلع المجاور ٢٠. أوجد الوتر والضلع المقابل وtan θ.
٤k = ٢٠ وk = ٥: الوتر ٢٥ والمقابل ١٥ وtan θ = ١٥/٢٠ = ٣/٤.
3
tan θ = ٥/١٢ والمجاور ٢٤. أوجد الضلعين الآخرين.
١٢k = ٢٤ وk = ٢: المقابل ١٠ والوتر ٢٦.
4
sin θ = ٨/١٧. أوجد cos θ وtan θ.
المجاور ١٥k (١٧² − ٨² = ٢٢٥). cos θ = ١٥/١٧ وtan θ = ٨/١٥.
5
سلّم طوله ١٠ م يصل إلى ارتفاع ٨ م على حائط. كم يبعد قدمه عن الحائط؟
sin θ = ٨/١٠ = ٤/٥ فـcos θ = ٣/٥ والبعد ١٠ × ٣/٥ = ٦ م (٦² + ٨² = ١٠²).