2
تبسيط العبارات التي فيها قوى بالحروف x و y و n ثم إيجاد قيمتها
Mathematics Prep 3 Term 1, Unit 1, Lessons 1–2
Goalأبسّط عبارات فيها أسس موجبة وصفرية وسالبة، وأذكر الحروف التي لا تساوي صفرًا، وأوجد القيمة لعدد معطى.
New words
الأس الصفري · a⁰ = ١ لأي a ≠ ٠الأس السالب · a⁻ⁿ = ١ ÷ aⁿ، أي مقلوب aⁿأبسط صورة · كل حرف يظهر مرة واحدة بأس موجبقيمة العبارة · العدد الناتج عند تعويض الحروف بأعداد معطاة
Explanation
تعرف أن aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ وaᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ وa⁰ = ١ وa⁻ⁿ = ١ ÷ aⁿ. والآن نجمعها مع القوانين الثلاثة في الدرس الأول. نعمل بهذا الترتيب: نزيل الأقواس بإعطاء كل عامل الأس الخارجي، ثم نجمع الحروف المتشابهة بجمع الأسس (في الضرب) أو بطرحها (في القسمة)، وأخيرًا نكتب الأسس السالبة على صورة كسور. والحرف الموجود في المقام أو الذي له أس سالب لا يساوي صفرًا، لذلك نذكر ذلك: x ≠ ٠. ولإيجاد القيمة نبسّط أولًا ثم نعوّض؛ فهذا أقصر وأضمن من التعويض في الصورة الطويلة.
| القاعدة | مثال |
|---|---|
| a⁰ = ١ (a ≠ ٠) | ٧⁰ = ١, (−x)⁰ = ١ |
| a⁻ⁿ = ١ ÷ aⁿ | ٢⁻³ = ١ ÷ ٨, x⁻² = ١ ÷ x² |
| aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | x² × x⁻⁵ = x⁻³ |
| aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | y³ ÷ y⁷ = y⁻⁴ |
Worked examples
بسّط (٢x²y⁻¹)³ ÷ (٤x⁴) حيث x ≠ ٠ وy ≠ ٠. أولًا القوس: (٢x²y⁻¹)³ = ٨x⁶y⁻³. نقسم على ٤x⁴: الأعداد تعطي ٨ ÷ ٤ = ٢ والحرف x يعطي x⁶⁻⁴ = x². إذن الناتج ٢x²y⁻³ = ٢x² ÷ y³.
أوجد قيمة (x²)³ × x⁻⁵ ÷ x⁻² عندما x = −٢. نبسّط أولًا: x⁶ × x⁻⁵ = x¹ ثم x¹ ÷ x⁻² = x¹⁺² = x³. وعند x = −٢ تكون القيمة (−٢)³ = −٨.
أرضية قاعة مدرسة مربعة طول ضلعها ٥x² سم، وتُغطى ببلاط مربع طول ضلعه x سم. كم بلاطة نحتاج؟ مساحة الأرضية (٥x²)² = ٢٥x⁴ سم². مساحة البلاطة x² سم². عدد البلاط ٢٥x⁴ ÷ x² = ٢٥x². وعندما x = ٢٠ تكون البلاطة ٢٠ سم، وعرض القاعة ٢٠٠٠ سم = ٢٠ مترًا، ونحتاج ٢٥ × ٢٠² = ١٠٠٠٠ بلاطة.
Class activity
لعبة التنصيف. اكتب ٢⁵ و٢⁴ و٢³ و٢² و٢¹ بقيمها ٣٢ و١٦ و٨ و٤ و٢. كل خطوة تقسم على ٢. واصل مع ٢⁰ و٢⁻¹ و٢⁻² و٢⁻³. ما القيم التي تحصل عليها؟ هل يفسر هذا لماذا ٢⁰ = ١؟
Practice
1
بسّط x⁵ × x⁻⁷ حيث x ≠ ٠.
x⁻² = ١ ÷ x².
2
بسّط (٣a⁻²b)² حيث a ≠ ٠.
٩a⁻⁴b² = ٩b² ÷ a⁴.
3
أوجد (٢⁻¹)³ × ٢⁵.
(٢⁻¹)³ = ٢⁻³، إذن ٢⁻³ × ٢⁵ = ٢² = ٤.
4
مكعب طول حرفه x² سم. أوجد حجمه وقيمته عندما x = ٣.
V = (x²)³ = x⁶ سم³. وعند x = ٣: ٣⁶ = ٧٢٩ سم³.
5
أسطوانة نصف قطرها ٢x سم وارتفاعها x² سم. اكتب حجمها πr²h في أبسط صورة.
V = π(٢x)² · x² = π × ٤x² × x² = ٤πx⁴ سم³.