Week 4 · Regression: predicting y from x, simple linear regression y = a + bx and the least squares method · 3 lessons
3
قانونا b وa من المعادلتين الطبيعيتين، وكتابة خط الانحدار من جدول صغير
Statistics Sec 3 Term 1, Unit 1, Lesson 2
Goalأوجد b و a من المعادلتين الطبيعيتين أو من القانونين، وأكتب خط الانحدار من جدول صغير.
New words
المعادلتان الطبيعيتان · Σy = na + bΣx وΣxy = aΣx + bΣx²، نتيجة المربعات الصغرىb (الميل) · معامل انحدار y على x: تغيّر ŷ عند زيادة x وحدة واحدةa (الجزء المقطوع) · قيمة ŷ عند x = ٠
Explanation
يُعطى خط المربعات الصغرى ŷ = a + bx بمعادلتين هما المعادلتان الطبيعيتان: Σy = na + bΣx وΣxy = aΣx + bΣx². ونأخذهما نتيجةً لفكرة المربعات الصغرى ونحلّهما للمجهولين a و b. من الأولى a = (Σy − bΣx) ÷ n. وبتعويضها في الثانية والضرب في n نجد nΣxy = ΣxΣy − b(Σx)² + b·nΣx² ومنه b = (nΣxy − Σx·Σy) ÷ (nΣx² − (Σx)²). وبسط b هو بسط معامل بيرسون، ومقامه موجب، فإشارة b هي إشارة r دائمًا. وبقسمة المعادلة الطبيعية الأولى على n نجد ȳ = a + b·x̄: أي أن خط الانحدار يمر دائمًا بنقطة المتوسطين (x̄, ȳ)، وهذا فحص جيد. لبيانات الرمي: Σx = ٣٥ وΣy = ٦٠ وΣxy = ٤٧٢ وΣx² = ٢٨٥ وn = ٥. فيكون b = (٥ × ٤٧٢ − ٣٥ × ٦٠) ÷ (٥ × ٢٨٥ − ٣٥²) = ٢٦٠ ÷ ٢٠٠ = ١٫٣ وa = (٦٠ − ١٫٣ × ٣٥) ÷ ٥ = ٢٫٩. والخط ŷ = ٢٫٩ + ١٫٣x: كل أسبوع تدريب إضافي يزيد الرمية المتوقعة بنحو ١٫٣ م.
فحوص واستعمال. المتوسطان x̄ = ٣٥ ÷ ٥ = ٧ وȳ = ٦٠ ÷ ٥ = ١٢ و٢٫٩ + ١٫٣ × ٧ = ١٢ فالخط يمر بالنقطة (٧, ١٢). تلميذ تدرّب ٨ أسابيع: ŷ = ٢٫٩ + ١٫٣ × ٨ = ١٣٫٣ م. وعند x = ٩ رمى التلميذ ١٦ م والخط يعطي ١٤٫٦ م فالخطأ |١٦ − ١٤٫٦| يساوي ١٫٤ م.
معنى a و b. b = ١٫٣ متر في الأسبوع هو الميل وله وحدة «متر لكل أسبوع»، بخلاف r التي لا وحدة لها. أما a = ٢٫٩ م فهي قيمة الخط عند صفر أسبوع؛ وليس لازمًا أن تكون رمية حقيقية، لأن x = ٠ خارج الأسابيع التي قسناها (من ٣ إلى ١١).
Class activity
خذ الأزواج الأربعة (١, ٢) و(٢, ٣) و(٣, ٣) و(٤, ٥). أوجد المجاميع ثم b و a، وتحقق أن خطك يمر بنقطة المتوسطين. وارسم النقاط والخط على ورق مربعات. (الجواب: ŷ = ١ + ٠٫٩x.)
Practice
1
للأزواج (١, ٤) و(٢, ٤) و(٣, ٦) و(٤, ٨) أوجد خط انحدار y على x.
