Week 13 · Conditional probability: the reduced sample space, P(A | B) = P(A ∩ B) ÷ P(B), the multiplication rule, two-way tables, tree and Venn diagrams · 3 lessons
2
استخدام القانون في الاتجاهين: إيجاد P(A ∩ B) = P(A | B) × P(B) وقراءة الجداول التوافقية
Statistics Sec 3 Term 1, Unit 3, Lesson 2
Goalأستعمل القانون في الاتجاه الآخر P(A ∩ B) = P(A | B) × P(B) وأقرأ الاحتمالات الشرطية من جدول ذي اتجاهين.
New words
قاعدة الضرب · P(A ∩ B) = P(A | B) × P(B) = P(B | A) × P(A)جدول ذو اتجاهين (جدول توافقي) · جدول يصنّف الأشخاص أو الأشياء أنفسهم بحسب صفتينمجاميع الصفوف والأعمدة · المجاميع على الحواف وتعطي احتمالات الأحداث المفردة
Explanation
بإعادة ترتيب P(A | B) = P(A ∩ B) ÷ P(B) نحصل على قاعدة الضرب P(A ∩ B) = P(A | B) × P(B). وبالكلمات: كي يقع الحدثان معًا لا بد أن يقع B أولًا، ثم يقع A في العالم الذي وقع فيه B. وبالتماثل فإن P(A ∩ B) = P(B | A) × P(A) أيضًا، ويجب أن يتساوى الحاصلان. والجدول ذو الاتجاهين أقرب مكان لاستعمال هذه الأفكار. هنا ٢٠٠ تلميذ مصنّفون بحسب الصف وبحسب إحضار وجبة من البيت. P(يحضر وجبة) = ١٢٠/٢٠٠ = ٠٫٦. لكن P(يحضر وجبة | الصف الثاني عشر) = ٤٥/٦٥ = ٩/١٣ أي نحو ٠٫٦٩: فعلمًا بأن التلميذ في الصف الثاني عشر يكون فضاء العينة المصغّر هو عمود هذا الصف وفيه ٦٥ تلميذًا. وأما P(الصف الثاني عشر | يحضر وجبة) = ٤٥/١٢٠ = ٣/٨ = ٠٫٣٧٥ فلأن فضاء العينة المصغّر هو الصف الأول. فالخانة نفسها ٤٥ تُقسم على مجموعين مختلفين، ولهذا يختلف الاحتمالان الشرطيان.
الصف العاشر
الصف الحادي عشر
الصف الثاني عشر
المجموع
يحضرون وجبة
40
35
45
120
يشترون وجبة
30
30
20
80
المجموع
70
65
65
200
Worked examples
من الجدول: P(يشتري وجبة | الصف الحادي عشر) = ٣٠/٦٥ = ٦/١٣ باستعمال عمود الصف الحادي عشر. وP(الصف الحادي عشر | يشتري وجبة) = ٣٠/٨٠ = ٣/٨ باستعمال صف «يشترون وجبة». كلاهما يستعمل الخانة نفسها ٣٠ ومجموعين مختلفين.
قاعدة الضرب. في يوم رحلة مدرسية احتمال أن يكون الصباح غائمًا ٠٫٥، واحتمال المطر علمًا بأن الصباح غائم ٠٫٣. إذن P(غائم والمطر) = ٠٫٥ × ٠٫٣ = ٠٫١٥. واحتمال المطر لا يقل عن ٠٫١٥ لأن نواتج «غائم وماطر» جزء من نواتج المطر كلها.
إكمال القيم. P(A) = ٠٫٦ وP(B | A) = ٠٫٥ وP(B) = ٠٫٤٥. إذن P(A ∩ B) = ٠٫٥ × ٠٫٦ = ٠٫٣؛ وP(A | B) = ٠٫٣ ÷ ٠٫٤٥ = ٢/٣؛ وP(A ∪ B) = ٠٫٦ + ٠٫٤٥ − ٠٫٣ = ٠٫٧٥؛ وP(B′ | A) = ١ − ٠٫٥ = ٠٫٥ لأن B و B′ يقتسمان الكل علمًا بوقوع A.
Class activity
اسأل ٢٠ شخصًا سؤالين إجابتهما بنعم أو لا، مثل «هل تضع ساعة؟» و«هل أنت أعسر؟» واصنع جدولًا ٢ × ٢ بمجاميعه. احسب P(A | B) وP(B | A) منه، وبيّن أن كليهما يستعمل الخانة نفسها مع مجموعين مختلفين.
