Week 12 · Axioms of probability and their corollaries: 0 ≤ P ≤ 1, P(S) = 1, additivity, P(A′), P(A − B) and P(A ∪ B), and solving problems · 3 lessons
2
إيجاد الاحتمالات الناقصة من احتمالين أو ثلاثة معطاة: حدث واحد على الأقل وعلى الأكثر وواحد فقط
Statistics Sec 3 Term 1, Unit 3, Lesson 1
Goalأملأ المناطق الأربع من احتمالين أو ثلاثة معطاة، وأجيب عن «واحد على الأقل» و«واحد فقط» و«واحد على الأكثر» و«لا أحد».
New words
المناطق الأربع · A فقط، وكلاهما، وB فقط، ولا أحد: مجموع احتمالاتها ١واحد بالضبط · A فقط أو B فقط، وليس كلاهماواحد على الأكثر · ليسا معًا: كل شيء عدا منطقة التقاطع
Explanation
كلما ظهر حدثان فكّر في أربع مناطق: A فقط، وكلاهما، وB فقط، ولا أحد منهما. ومجموع احتمالاتها دائمًا ١، وكل عبارة في المسألة هي مجموع بعضها كما يبيّن الجدول. فـ«واحد على الأقل» هو المناطق الثلاث داخل الدائرتين. و«واحد بالضبط» هو A فقط مع B فقط. و«واحد على الأكثر» هو كل شيء عدا منطقة التقاطع، و«لا أحد» هو الخارج. وانتبه: «ليسا معًا» و«لا أحد منهما» حدثان مختلفان. وفي المسألة ابدأ بمنطقة التقاطع إن كانت معلومة، واطرحها من P(A) ومن P(B) لتحصل على منطقتي «فقط»، واستعمل المجموع ١ للمنطقة الباقية. وإذا أُعطيت P(لا أحد منهما) فأوجد P(A ∪ B) أولًا ثم التقاطع من P(A) + P(B) − P(A ∪ B).
العبارة
المناطق
الاحتمال
A فقط
A − B
P(A) − P(A ∩ B)
B فقط
B − A
P(B) − P(A ∩ B)
كلاهما
A ∩ B
P(A ∩ B)
واحد على الأقل
A ∪ B
P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
واحد بالضبط
(A − B) ∪ (B − A)
P(A ∪ B) − P(A ∩ B)
واحد على الأكثر (ليسا معًا)
(A ∩ B)′
1 − P(A ∩ B)
لا أحد منهما
(A ∪ B)′
1 − P(A ∪ B)
Worked examples
P(A) = ٠٫٦ وP(B) = ٠٫٥ وP(لا أحد منهما) = ٠٫١٥. إذن P(A ∪ B) = ٠٫٨٥ وP(A ∩ B) = ٠٫٦ + ٠٫٥ − ٠٫٨٥ = ٠٫٢٥. A فقط: ٠٫٦ − ٠٫٢٥ = ٠٫٣٥. B فقط: ٠٫٥ − ٠٫٢٥ = ٠٫٢٥. واحد بالضبط: ٠٫٣٥ + ٠٫٢٥ = ٠٫٦٠. واحد على الأكثر: ١ − ٠٫٢٥ = ٠٫٧٥. والمناطق ٠٫٣٥ و٠٫٢٥ و٠٫٢٥ و٠٫١٥ مجموعها ١.
بالكسور: P(A) = ١/٢ وP(B) = ١/٣ وP(A ∩ B) = ١/٦. إذن P(A ∪ B) = ١/٢ + ١/٣ − ١/٦ = ٢/٣ فيكون P(لا أحد منهما) = ١/٣. A فقط ١/٢ − ١/٦ = ١/٣ وB فقط ١/٣ − ١/٦ = ١/٦. واحد بالضبط: ١/٣ + ١/٦ = ١/٢. واحد على الأكثر: ١ − ١/٦ = ٥/٦.
حافلتان. احتمال أن تصل الحافلة الأولى في موعدها ٠٫٧، والثانية ٠٫٦، وأن تصلا معًا في موعدهما ٠٫٤٥. واحدة على الأقل في موعدها: ٠٫٧ + ٠٫٦ − ٠٫٤٥ = ٠٫٨٥. لا واحدة منهما: ١ − ٠٫٨٥ = ٠٫١٥. واحدة بالضبط: ٠٫٨٥ − ٠٫٤٥ = ٠٫٤٠. ليستا معًا في موعدهما: ١ − ٠٫٤٥ = ٠٫٥٥. لاحظ أن «ليستا معًا» (٠٫٥٥) أكبر كثيرًا من «لا واحدة منهما» (٠٫١٥).
Class activity
اسأل ٢٠ زميلًا سؤالين إجابتهما بنعم أو لا، مثل «هل تمشي إلى المدرسة؟» و«هل لك أخ أو أخت في المدرسة؟». عُدّ المجموعات الأربع وحوّل الأعداد إلى احتمالات (بالقسمة على ٢٠) واملأ المناطق الأربع في شكل فن. ثم أوجد احتمال «نعم واحدة على الأقل» و«نعم واحدة بالضبط» و«نعم واحدة على الأكثر».
Practice
1
P(A) = ٠٫٥ وP(B) = ٠٫٤ وP(A ∩ B) = ٠٫٢. أوجد P(A ∪ B) وP(لا أحد منهما) وP(واحد فقط).
P(A ∪ B) = ٠٫٧؛ P(لا أحد منهما) = ٠٫٣؛ P(واحد فقط) = ٠٫٧ − ٠٫٢ = ٠٫٥.
2
P(A) = ٠٫٨ وP(B) = ٠٫٧ وP(لا أحد منهما) = ٠٫٠٥. أوجد P(A ∩ B) وP(واحد على الأكثر).
P(A ∪ B) = ٠٫٩٥ فيكون P(A ∩ B) = ٠٫٨ + ٠٫٧ − ٠٫٩٥ = ٠٫٥٥ وP(واحد على الأكثر) = ١ − ٠٫٥٥ = ٠٫٤٥.
