Week 11 · Operations on events, mutually exclusive events and the probability of an event when the outcomes are equally likely · 3 lessons
3
P(A) = n(A) ÷ n(S) عند تساوي فرص النواتج: كرات ونرد وجدول أشخاص، ومتى لا تتساوى فرص النواتج
Statistics Sec 3 Term 1, Unit 3, Lesson 1
Goalأحسب P(A) = n(A) ÷ n(S) عندما تتساوى فرص النواتج، وأعرف متى لا تتساوى.
New words
نواتج متساوية الفرص · نواتج لها الاحتمال نفسه، مثل أوجه حجر النرد المنتظم الستةP(A) = n(A) ÷ n(S) · عدد نواتج A مقسومًا على عدد نواتج Sالحدث المؤكد والمستحيل · P(S) = ١ وP(∅) = ٠
Explanation
عندما يكون لجميع نواتج التجربة الفرصة نفسها يكون احتمال الحدث A هو نصيب النواتج التي تنتمي إليه: P(A) = n(A) ÷ n(S). في كيس ١٢ قرصًا: ٥ صفراء و٤ خضراء و٣ بنفسجية، ونسحب قرصًا دون النظر. كل قرص متساوي الفرصة، فيكون P(أخضر) = ٤ ÷ ١٢ = ١/٣ وP(أصفر أو بنفسجي) = ٨ ÷ ١٢ = ٢/٣ أي احتمال الأخضر ثلث واحتمال الأصفر أو البنفسجي ثلثان. أما «ليس أخضر» فنعدّ الأقراص الثمانية غير الخضراء، أو نحسب ١ − ١/٣، وكلاهما يعطي ٢/٣. والحدث الذي يقع دائمًا احتماله ١ والمستحيل احتماله ٠. ومع حجري النرد نعدّ الأزواج من ٣٦، ومع جدول الأشخاص نعدّ الأشخاص من المجموع الكلي. ولا تصح الصيغة إلا بشرطها. فحجرا النرد يعطيان أحد عشر مجموعًا ممكنًا من ٢ إلى ١٢، ومع ذلك فاحتمال المجموع ٧ ليس ١/١١: إنه يظهر في ستة من ٣٦ زوجًا، فيكون P(المجموع ٧) = ٦/٣٦ = ١/٦ لأن المجاميع ليست متساوية الفرص. وكذلك لمباراة مدرسية ثلاث نتائج هي الفوز والتعادل والخسارة، ولكن احتمال كل منها ليس ١/٣. فلا نعدّ النواتج إلا إذا تساوت فرصها، وإلا كتبنا النواتج المتساوية الفرص التي تقع تحتها.
Worked examples
حاصل ضرب العددين على حجري النرد (الأول رأسيًّا والثاني أفقيًّا)
1
2
3
4
5
6
1
1
2
3
4
5
6
2
2
4
6
8
10
12
3
3
6
9
12
15
18
4
4
8
12
16
20
24
5
5
10
15
20
25
30
6
6
12
18
24
30
36
حجرا نرد، ٣٦ زوجًا متساوي الفرصة. ليكن A «حاصل الضرب ١٢» = {(٢, ٦), (٣, ٤), (٤, ٣), (٦, ٢)} فيكون P(A) = ٤/٣٦ = ١/٩. و B «الفرق ٣» = {(١, ٤), (٢, ٥), (٣, ٦), (٤, ١), (٥, ٢), (٦, ٣)} فيكون P(B) = ٦/٣٦ = ١/٦. و C «المجموع ١» لا يضم أي زوج، فيكون P(C) = ٠. و D «المجموع أقل من ١٣» يضم الأزواج الـ٣٦ كلها، فيكون P(D) = ١.
تُلقى ثلاث قطع نقود. S = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}: ثمانية نواتج متساوية الفرص (H صورة و T كتابة). الحدث A «كتابة في الرمية الثانية» = {HTH, HTT, TTH, TTT} فيكون P(A) = ٤/٨ = ١/٢. والحدث B «صورة واحدة على الأقل» يضم كل ناتج عدا TTT فيكون P(B) = ٧/٨. والحدث C «لا كتابتان متجاورتان» = {HHH, HHT, HTH, THH, THT} فيكون P(C) = ٥/٨.
المنافسة
أولاد
فتيات
المجموع
عدو
18
12
30
وثب
15
20
35
تتابع
22
13
35
المجموع
55
45
100
جدول أشخاص. في يوم رياضي يشترك ١٠٠ تلميذ، كلٌّ في منافسة واحدة فقط. احتمال أن يكون التلميذ فتاة في الوثب هو ٢٠/١٠٠ = ٠٫٢. واحتمال أن يكون ولدًا أو في التتابع هو (٥٥ + ١٣)/١٠٠ = ٠٫٦٨ لأننا نعدّ الأولاد الـ٥٥ والفتيات الـ١٣ في التتابع مرة واحدة لكل منهم. واحتمال ألا يكون في العدو هو ٧٠/١٠٠ = ٠٫٧. واحتمال أن تكون فتاة لا في العدو ولا في الوثب هو ١٣/١٠٠ = ٠٫١٣.
Class activity
اكتب الأعداد من ١ إلى ١٢ على قصاصات وضعها في كيس. اسحب قصاصة، ولاحظ هل هي مضاعف للعدد ٣، ثم أعدها. كرّر ذلك ٢٤ مرة. قارن نسبة مضاعفات ٣ التي حصلت عليها بـ P = ٤/١٢ = ١/٣. هل حصلت على ٨ من ٢٤ تمامًا؟ ولماذا لا يكون ذلك مؤكدًا؟
Practice
1
في كيس ٢٠ قرصًا: ٨ حمراء و٧ زرقاء و٥ بيضاء. يُسحب قرص عشوائيًّا. أوجد احتمال الأزرق، واحتمال الأحمر أو الأبيض، واحتمال غير الأحمر.
احتمال الأزرق ٧/٢٠؛ احتمال الأحمر أو الأبيض ١٣/٢٠؛ احتمال غير الأحمر ١٢/٢٠ = ٣/٥.
2
يُلقى حجرا نرد. أوجد احتمال أن يختلف العددان بمقدار ١ بالضبط.
