القوى المتوازية: متحدة الاتجاه ومتضادة ونظرية العزوم
Week 5 · Parallel coplanar forces: the resultant of two like forces, of two unlike forces, and the theorem of moments for parallel forces · 3 lessons
3
نظرية العزوم للقوى المتوازية: مجموع عزومها حول أي نقطة يساوي عزم محصلتها
Applied Mathematics Sec 3 Term 1, Unit 2, Lesson 1, Part 1
Goalأنص على نظرية العزوم للقوى المتوازية وأستعملها لإيجاد محصلة ثلاث قوى متوازية أو أكثر وموضع تأثيرها.
New words
نظرية العزوم (قوى متوازية) · مجموع عزوم القوى المتوازية بالنسبة لأي نقطة يساوي عزم محصلتها بالنسبة لتلك النقطةالبعد ذو الإشارة x · الموضع على امتداد الساق مقيسًا من A وموجب نحو اليمين
Explanation
لنأخذ ساقًا أفقية نقطة الأصل للمواضع x عند A (موجب نحو اليمين) وقوى رأسية Fi (إلى أعلى موجب) عند المواضع xi. عزم قوة رأسية بالنسبة لـA هو xi Fi (عكس عقارب الساعة موجب) وهو القانون الذي تعرفه مع y = ٠. وتقول النظرية: مجموع عزوم القوى بالنسبة لأي نقطة يساوي عزم المحصلة R بالنسبة لتلك النقطة. بالنسبة لـA: Σ Fi xi = R × xR حيث R = Σ Fi وxR موضع تأثير R. لماذا هي صحيحة؟ بالنسبة للنقطة C التي تؤثر فيها R رأينا في الدرسين السابقين أن عزوم القوى تتلاشى فمجموعها ٠ وهو عزم R نفسه بالنسبة لـC (ذراعها صفر). وللقوتين متحدتي الاتجاه تصير المعادلة F₁x₁ + F₂x₂ = (F₁ + F₂) xR أي xR = (F₁x₁ + F₂x₂) / (F₁ + F₂) وهي النقطة التي تقسم AB بنسبة عكسية لمقداري القوتين. وتجعل النظرية القوى الكثيرة سهلة: اجمع القوى لتجد R، واجمع حواصل الضرب F × x، ثم اقسم لتجد xR. وإذا كانت xR سالبة فإن R تؤثر على يسار A. وإذا كانت R = ٠ فالقوى ازدواج.
Worked examples
ثلاثة أثقال معلقة من ساق خفيفة على بعد ٠٫١ m و٠٫٦ m و١٫٢ m من A هي ٢٠ N و٣٠ N و٥٠ N (إلى أسفل). R = ١٠٠ N إلى أسفل. بالنسبة لـA (قوة إلى أسفل عند x موجب: في اتجاه عقارب الساعة): العزوم −٢٠ × ٠٫١ = −٢ و−٣٠ × ٠٫٦ = −١٨ و−٥٠ × ١٫٢ = −٦٠ ومجموعها −٨٠ N·m. وعزم R يساوي −١٠٠ × xR. إذن xR = ٨٠ / ١٠٠ = ٠٫٨ m من A. وحامل واحد ١٠٠ N عند ٠٫٨ m يُبقي الساق أفقية.
تؤثر في ساق قوة ٣٠ N إلى أعلى عند A (x = ٠) وقوة ٢٠ N إلى أسفل عند x = ٠٫٤ m وقوة ٢٠ N إلى أسفل عند x = ٠٫٨ m (إلى أعلى موجب). R = ٣٠ − ٢٠ − ٢٠ = −١٠ N أي ١٠ N إلى أسفل. العزوم بالنسبة لـA: ٣٠ × ٠ + (−٢٠)(٠٫٤) + (−٢٠)(٠٫٨) = −٨ − ١٦ = −٢٤ N·m. وR xR = (−١٠) xR = −٢٤ فتكون xR = ٢٫٤ m. إذن تؤثر المحصلة ١٠ N إلى أسفل على بعد ٢٫٤ m من A أي بعد طرف الساق عند ٠٫٨ m: هي خط عمل فقط ويمكن الوصول إليها بامتداد للساق.
ثلاث قوى إلى أسفل ١٠ N وF و٣٠ N تؤثر عند x = ٠ و١ m و٢ m. تؤثر محصلتها عند x = ١٫٢٥ m. أوجد F. R = ٤٠ + F. بالنسبة لـA: F × ١ + ٣٠ × ٢ = (٤٠ + F) × ١٫٢٥ أي F + ٦٠ = ٥٠ + ١٫٢٥F فتكون ١٠ = ٠٫٢٥F وF = ٤٠ N. ثم R = ٨٠ N.
Class activity
ألصق ثلاث قطع نقدية صغيرة في أماكن مختلفة على مسطرة وأوجد النقطة التي تتزن عندها المسطرة على قلم. توقّعها أولًا بالنظرية: قِس مواضع القطع من أحد الطرفين واضرب وزن كل قطعة (استعمل وحدة واحدة لكل قطعة متماثلة) في موضعها ثم اجمع واقسم على عدد القطع. قارن بنقطة الاتزان التي تجدها.
Practice
1
تؤثر قوى إلى أسفل ١٠ N و٢٠ N و٣٠ N عند ٠ و٠٫٦ m و١٫٠ m من A. أوجد R وموضع تأثيرها.
R = ٦٠ N إلى أسفل. Σ F x = ٠ + ١٢ + ٣٠ = ٤٢ فتكون xR = ٤٢ / ٦٠ = ٠٫٧ m من A.
2
قوتان متحدتا الاتجاه ٨ N عند x = ٠٫٢ m و١٢ N عند x = ٠٫٧ m. استعمل النظرية بالنسبة لـA لإيجاد موضع تأثير المحصلة.
تؤثر قوة ١٦ N إلى أعلى عند x = ٠ وقوة ٦ N إلى أسفل عند x = ٠٫٥ m (إلى أعلى موجب). أوجد R وxR.
R = ١٠ N إلى أعلى. العزوم بالنسبة لـA: ١٦ × ٠ + (−٦)(٠٫٥) = −٣ = ١٠ xR فتكون xR = −٠٫٣ m: تؤثر R على بعد ٠٫٣ m يسار A، خارج القطعة وفي جهة القوة الأكبر.
4
قوتان إلى أسفل ٦ N عند x = ٠ وF عند x = ١٫٢ m ومحصلتهما تؤثر عند x = ٠٫٨ m. أوجد F.
