3
ساق على أرض خشنة وحائط أملس: أقل قوة أفقية إضافية تجعلها على وشك الانزلاق، ومعامل الاحتكاك عند الاتزان الحدّي
Applied Mathematics Sec 3 Term 1, Unit 2, Lesson 2, Part 3
Goalأوجد الاحتكاك وأقل معامل احتكاك لقضيب منتظم يرتكز على أرض خشنة وحائط أملس بزاوية θ.
New words
ظل الزاوية · الارتفاع مقسومًا على البعد عن الحائطقوة أفقية إضافية · دفع أو شد عند القدم يغيّر الاحتكاك اللازم
Explanation
يرتكز قضيب منتظم طوله L ووزنه W على أرض خشنة وحائط أملس بزاوية θ مع الأرض. نضع الحائط على اليمين؛ إلى أعلى وإلى اليمين موجب والعزوم عكس عقارب الساعة موجبة. العزوم حول القدم: S × (L sin θ) = W × (L/٢) cos θ فـS = W/(٢ tan θ). ثم F = S وN = W. والقيمة الحدّية F = μN تعطي μ = ١/(٢ tan θ). لاحظ أن S لا تعتمد على الاحتكاك. القضيب الأكثر انحدارًا (tan θ أكبر) يحتاج احتكاكًا أقل. مع قوة أفقية إضافية X عند القدم في اتجاه بعيد عن الحائط يصبح الاحتكاك اللازم S + X وأكبر X تساوي μN − S.
Worked examples
قضيب وزنه ٩٠ N يصنع زاوية θ مع الأرض حيث tan θ = ٣ وμ = ٠٫٤. S = ٩٠/٦ = ١٥ N وN = ٩٠ N وF = ١٥ N. أكبر احتكاك ممكن ٠٫٤ × ٩٠ = ٣٦ N فأكبر قوة أفقية إضافية X بعيدًا عن الحائط هي ٣٦ − ١٥ = ٢١ N.
قضيب يرتكز وtan θ = ٥/٢. إذن μ ≥ ١/(٢ × ٥/٢) = ١/٥.
Class activity
أسند قلم رصاص إلى كتاب بزوايا مختلفة على غطاء خشن. أي زاوية تجعله ينزلق؟ اربط ما تراه بالعلاقة μ = ١/(٢ tan θ).
Practice
1
قضيب وزنه ٦٠ N وtan θ = ٢ وμ = ٠٫٥. ما أكبر قوة أفقية إضافية X بعيدًا عن الحائط يتحملها؟
S = ٦٠/٤ = ١٥ N. أكبر احتكاك ٠٫٥ × ٦٠ = ٣٠ N فيكون X = ٣٠ − ١٥ = ١٥ N.
2
القضيب نفسه، لكن X الآن نحو الحائط. ما أكبر X قبل أن ينزلق؟
تبقى S = ١٥ N. يؤثر الاحتكاك بعيدًا عن الحائط: X − ١٥ = ٣٠ فيكون X = ٤٥ N.
3
أوجد أقل μ إذا كان tan θ = ٢٫٥.
μ = ١/(٢ × ٢٫٥) = ١/٥ = ٠٫٢.
4
يرتكز قضيب بزاوية θ = ٦٠° مع الأرض. أوجد أقل μ.
tan ٦٠° = √٣ فـμ = ١/(٢√٣) ≈ ٠٫٢٨٩.
5
هل تعتمد S على μ؟
لا: العزوم حول القدم لا تتضمن الاحتكاك.