Week 9 · Parallel lines and proportional parts: the triangle proportionality theorem, its converse and Thales' theorem · 3 lessons
3
نظرية تاليس العامة: عدة مستقيمات متوازية تقطع قاطعين بأجزاء متناسبة وحالة الأجزاء المتساوية وتطبيقاتها
Mathematics Sec 1 Term 1, Unit 3, Lesson 1
Goalأستخدم نظرية تاليس لإيجاد الأطوال التي تقطعها مستقيمات متوازية على قاطع.
New words
القاطع · مستقيم يقطع مستقيمين أو أكثرنظرية تاليس · المستقيمات المتوازية تقطع كل قاطع بأجزاء متناسبة
Explanation
نظرية تاليس: إذا قطعت عدة مستقيمات متوازية قاطعين فإن الأجزاء على أحد القاطعين تتناسب مع الأجزاء المناظرة على الآخر: AB/BC = PQ/QR وكذلك AB : BC : CD = PQ : QR : RS. وهي تمتد من نظرية المثلث: نرسم من A مستقيمًا يوازي القاطع الثاني فتقطع المتوازيات مثلثًا. وحالة خاصة: إذا تساوت الأجزاء على أحد القاطعين تساوت على كل قاطع (وبهذا نقسم قطعة إلى أجزاء متساوية بالمسطرة). ومن الاستخدامات إيجاد طول عارضة مائلة بين أعمدة رأسية أو المسافة بين تقاطعين في الشوارع. حافظ على ترتيب التناظر: الجزء بين أول مستقيمين يقابل الجزء بين المستقيمين نفسيهما على القاطع الآخر. وحوّل الأطوال إلى وحدة واحدة أولًا.
Worked examples
ثلاثة مستقيمات متوازية تقطع قاطعين. على الأول AB = ٦ وBC = ٩ وعلى الثاني PQ = ٤. فإن AB/BC = PQ/QR أي ٦/٩ = ٤/QR وQR = ٦.
ثلاثة شوارع متوازية تقطع شارعين رئيسيين. على الشارع الأول طولا البلوكين ٢٠٠ م و٣٠٠ م. وعلى الثاني طول البلوك الأول ٢٤٠ م. فإن ٢٠٠/٣٠٠ = ٢٤٠/x فيكون x = ٣٦٠ م.
أجزاء متساوية. مستقيمات متوازية تقطع قاطعين. على الأول الأجزاء الثلاثة متساوية. وعلى الثاني الجزء الأول ٣x − ٤ والثاني x + ٦. تساوي الأجزاء يعطي ٣x − ٤ = x + ٦ فإن ٢x = ١٠ وx = ٥ وكل جزء ١١.
Class activity
قسّم مستقيمًا. ارسم قطعة طولها ١٠ سم. باستخدام مسطرة ومثلث رسم قسّمها إلى ٥ أجزاء متساوية برسم ٥ خطوات متساوية على مستقيم مائل ووصل الأطراف بمستقيمات متوازية.
Practice
1
ثلاثة مستقيمات متوازية تقطع قاطعين. على الأول AB = ٥ وBC = ٧ وعلى الثاني PQ = ١٠. أوجد QR وPR.
٥/٧ = ١٠/QR فإن QR = ١٤ وPR = ٢٤.
2
عارضة مائلة تستند إلى ثلاثة أعمدة رأسية. المسافة على الأرض بين العمودين الأول والثاني ١٫٥ م وبين الثاني والثالث ٢٫٥ م، وطول العارضة بين العمودين الأول والثاني ١٫٨ م. كم طول العارضة بين العمودين الثاني والثالث؟
١٫٥/٢٫٥ = ١٫٨/x فإن x = ١٫٨ × ٥/٣ = ٣ م.
3
علّمت مستقيمات متوازية أربعة أجزاء متساوية على قاطع. وطول المقطوع الكلي على قاطع آخر ٢٤ سم. أوجد كل جزء.
الأجزاء المتساوية تعطي أجزاء متساوية فكل جزء ٢٤ ÷ ٤ = ٦ سم.
4
على قاطع AB : BC = ٣ : ٥. وعلى الآخر PQ = ٤٫٥ سم. أوجد QR.
٣/٥ = ٤٫٥/QR فإن QR = ٧٫٥ سم.
5
لماذا لا نستطيع استخدام نظرية تاليس إذا لم تكن المستقيمات متوازية؟
يستخدم البرهان التوازي للحصول على زوايا متساوية ومثلثات متشابهة. وبدون التوازي لا تتساوى النسب.
