متغيران: المخطط المبعثر والارتباط وخط الانحدار
يعرض المخطط المبعثر متغيرين معًا، نقطة لكل تلميذ. في المثال ساعات المذاكرة (من ١ إلى ٦) ودرجات الاختبار: (١، ٤٢) و(٢، ٥٥) و(٣، ٦٢) و(٤، ٦٨) و(٥، ٧٣) و(٦، ٧٢). ترتفع النقاط من اليسار إلى اليمين، فالدرجات تميل إلى الارتفاع مع الساعات. ويقيس معامل الارتباط r مدى اتباع النقاط خطًا مستقيمًا، من −١ إلى ١. قريب من ١: يرتفعان معًا. قريب من −١: أحدهما يرتفع والآخر ينخفض. قريب من ٠: لا علاقة خطية. وفي هذه البيانات r نحو ٠٫٩٤. والارتباط ليس سببية: فمبيعات الآيس كريم وحروق الشمس ترتفعان معًا لأن كليهما يعتمد على الطقس الحار، لا لأن أحدهما يسبب الآخر. والجدولة المتقاطعة تعد فئتين معًا، مثل عدد التلاميذ الذين يمشون أو يركبون الحافلة في كل سنة دراسية. وخط الانحدار هو المستقيم الأقرب إلى النقاط؛ وتختار طريقة المربعات الصغرى الخط الذي له أصغر مجموع لمربعات الفروق بين النقاط والخط. وللبيانات هنا: الدرجة = ٦ × الساعات + ٤١. ويمكننا التنبؤ داخل مدى البيانات: لثلاث ساعات ٦ × ٣ + ٤١ = ٥٩. ولا ينبغي التنبؤ بعيدًا خارجه: فالخط يقول إن ١٠ ساعات تعطي ١٠١ درجة وهذا مستحيل.
| زوج المتغيرات | قيمة r المعتادة | المعنى |
|---|---|---|
| ساعات المذاكرة والدرجات | +0.9 | يرتفعان معًا |
| النوم الضائع واليقظة | −0.9 | أحدهما يرتفع والآخر ينخفض |
| مقاس الحذاء ودرجة الاختبار | 0 | لا علاقة خطية |
| السنة أ | السنة ب | المجموع | |
|---|---|---|---|
| مشي | 8 | 6 | 14 |
| حافلة | 7 | 9 | 16 |
| المجموع | 15 | 15 | 30 |
باستخدام الدرجة = ٦ × الساعات + ٤١، تنبأ بالدرجة لساعتين ولخمس ساعات. ثم اشرح لماذا لا تستخدم الخط لـ ١٢ ساعة. وأخيرًا اخترع متغيرين يرتفعان معًا لكن أحدهما لا يسبب الآخر.