Week 10 · Chapter 11 Simulations: models and modelling, simulating with a spreadsheet, random numbers and Monte Carlo, queues · 3 lessons
2
المحاكاة بجدول البيانات وبالصدفة
ICT Secondary 1 Term 1, Chapter 11: pp. 153–166
الهدفأبني محاكاة في جدول بيانات بمعدل ثابت، وأستخدم تجارب عشوائية لتقدير احتمال.
كلمات جديدة
المرجع النسبي / المطلق · عنوان خلية يتحرك عند النسخ / عنوان يبقى ثابتًاالفائدة المركبة (compound interest) · فائدة تُضاف إلى الأساس فتكبر فائدة العام التاليالمحاكاة (simulation) · تشغيل نموذج مرات كثيرة لنرى ما يحدثطريقة مونت كارلو (Monte Carlo) · تقدير كمية من تجارب عشوائية كثيرة
الشرح
جدول البيانات مكان جيد للمحاكاة: كل صف سنة أو تجربة. خذ مدخرات ألف جنيه بمعدل فائدة سنوي من اختراعنا قدره ١٠٪. نكتب المعدل مرة واحدة في خلية ثابتة. وحين تُنسخ الصيغة إلى أسفل ينتقل المرجع النسبي مثل B4 إلى B5 وB6 وهكذا، أما المرجع المطلق مثل $B$1 فيبقى على خلية المعدل. فتكون فائدة كل صف بداية السنة مضروبة في المعدل. وفي الفائدة المركبة تُضاف فائدة كل سنة إلى الأساس فتكبر فائدة السنة التالية: بعد t من السنوات يكون المبلغ P × (1 + r)ᵗ، وهو لألف جنيه و١٠٪ و٣ سنوات 1,000 × 1.1 × 1.1 × 1.1 = ١٣٣١ جنيهًا. والمحاكاة التي فيها صدفة تستخدم أعدادًا عشوائية. ولحجر النرد ست فرص متساوية. وعند رمي حجري نرد فإن احتمال أن يكون المجموع ٧ هو ٦ من ٣٦، لأن ٦ أزواج من ٣٦ تعطي ٧: ١ + ٦ و٢ + ٥ و٣ + ٤ وعكوسها. وهذا ١/٦. وتقدّر طريقة مونت كارلو احتمالًا كهذا بتكرار التجربة مرات كثيرة والعدّ. ومع تجارب قليلة قد يبتعد التقدير كثيرًا؛ ومع تجارب كثيرة يقترب.
C٤fx=B٤*$B$١
A
B
C
D
1
المعدل
0.1
2
3
السنة
البداية (جنيه)
الفائدة (جنيه)
النهاية (جنيه)
4
1
1000
100
1100
5
2
1100
110
1210
6
3
1210
121
1331
أمثلة محلولة
السنة
البداية
الفائدة = البداية × ٠.١
النهاية
1
1000
100
1100
2
1100
110
1210
3
1210
121
1331
يعرض الجدول المحاكاة. السنة ١: الفائدة ١٠٠٠ × ٠٫١ = ١٠٠ والنهاية ١١٠٠. السنة ٢ تبدأ من ١١٠٠: الفائدة ١١٠ والنهاية ١٢١٠. السنة ٣: الفائدة ١٢١ والنهاية ١٣٣١. وتستخدم الصيغة في الصورة $B$1 للمعدل، فلا ينتقل المعدل عند نسخها إلى أسفل.
التجربة
١
٢
٣
٤
٥
٦
٧
٨
٩
١٠
١١
١٢
المجموع
7
3
12
7
8
8
6
7
2
10
7
7
سُجّلت اثنتا عشرة تجربة لرمي حجري نرد في الجدول (الأزواج معطاة هنا وليست عشوائية الآن). كان المجموع ٧ في ٥ تجارب من ١٢، أي ٠٫٤٢، بعيدًا عن ١/٦ = ٠٫١٧. التجارب القليلة ليست تقديرًا مأمونًا. ومع ٦٠٠ تجربة تكون النسبة عادة قريبة من ١/٦.
رُمي حجر نرد ٦٠ مرة؛ وعدد مرات كل وجه في الرسم: ٩ و١١ و١٠ و٨ و١٢ و١٠. النرد العادل يعطي ١٠ لكل وجه، والأعداد قريبة من ١٠ لكن ليست مطابقة تمامًا لأن الصدفة تتفاوت.
نشاط الفصل
أكمل الجدول إلى السنة ٥ يدويًا (١٠٠٠ جنيه، ١٠٪، تُضاف الفائدة كل سنة). ثم قل ماذا يتغير إذا كان المعدل ٢٠٪. ولماذا يحتفظ جدول البيانات بالمعدل في خلية ثابتة واحدة؟
تدرّب
1
خمسمئة جنيه بفائدة مركبة ١٠٪ في السنة: كم تصبح بعد سنتين؟
٥٠٠ × ١٫١ × ١٫١ = ٦٠٥ جنيهات.
2
في الصيغة =B4*$B$1، أي مرجع يتحرك عند نسخ الصيغة إلى أسفل؟
B4 يتحرك (إلى B5 ثم B6 …)؛ و$B$1 يبقى.
3
كم زوجًا من الأزواج الـ ٣٦ لحجري نرد يعطي المجموع ٤؟
٣ أزواج (١+٣ و٢+٢ و٣+١)، أي احتمال ٣/٣٦ = ١/١٢.
4
محاكاة لحجري نرد أعطت المجموع ٧ في ٤ تجارب من ٣٠. هل هذا تقدير موثوق للاحتمال؟
ليس كثيرًا: ٤ ÷ ٣٠ نحو ٠٫١٣ والتجارب ٣٠ قليلة. وبتجارب أكثر نقترب من ١/٦.