Week 9 · Equilibrium of coplanar forces: a non-uniform board, rods and loads with unknown forces, and a bar on rough ground and a smooth wedge · 3 lessons
3
ساق ترتكز بطرفها على أرض أفقية خشنة وبنقطة منها على وتد أملس: رد فعل الوتد ومعامل الاحتكاك
Applied Mathematics Sec 3 Term 1, Unit 2, Lesson 2, Part 2
Goalأوجد رد فعل وتد أملس ومعامل الاحتكاك مع الأرض لساق ترتكز بطرفها على أرض خشنة وبنقطة منها على وتد أملس.
New words
وتد أملس · وتد ثابت لا احتكاك معه: رد فعله عمودي على الساقالاحتكاك الحدّي · الاحتكاك في قيمته العظمى F = μN: الساق على وشك الانزلاق
Explanation
ترتكز ساق منتظمة AB بطرفها A على أرض أفقية خشنة وبنقطة C منها على وتد أملس. تميل الساق بزاوية θ على الأرض وهي على وشك الانزلاق. تؤثر أربع قوى: الوزن W عند المنتصف ورد فعل الوتد R₂ عند C عموديًا على الساق لأن الوتد أملس، وعند A رد فعل الأرض العمودي N إلى أعلى والاحتكاك F أفقيًا على الأرض. إذا كان ارتفاع الوتد h فإن AC = h / sin θ. العزوم حول A تُخفي N وF: W × (L/٢) cos θ = R₂ × AC. ثم نحلل: أفقيًا F = R₂ sin θ (فالقوة R₂ تدفع الساق بعيدًا عن الوتد ويجب أن يمسكها الاحتكاك) ورأسيًا N = W − R₂ cos θ. وفي الاتزان الحدّي F = μN فيكون μ = F / N. لا يعتمد معامل الاحتكاك على وحدة الوزن، وفي هذه المسألة لا يعتمد على الوزن W نفسه أيضًا. احتكاك الأرض أفقي أما قوة الوتد فليست أفقية: لا تخلط بينهما.
Worked examples
ساق منتظمة AB طولها ٢٫٥ m ووزنها ٤٠ N ترتكز بالطرف A على أرض أفقية خشنة وبالنقطة C على وتد أملس ارتفاعه ١٫٢ m. تكون الساق على وشك الانزلاق عندما تصنع زاوية θ مع الأرض حيث sin θ = ٣/٥ (فيكون cos θ = ٤/٥). أوجد رد فعل الوتد ومعامل الاحتكاك عند A. يؤثر الوزن على بعد ١٫٢٥ m من A. AC = ١٫٢ / (٣/٥) = ٢ m. العزوم حول A (عكس عقارب الساعة موجب؛ الوزن يدير الساق مع عقارب الساعة وR₂ عكسها): R₂ × ٢ − ٤٠ × ١٫٢٥ × (٤/٥) = ٠ فيكون R₂ = ٢٠ N. أفقيًا: F = ٢٠ × ٣/٥ = ١٢ N. رأسيًا: N = ٤٠ − ٢٠ × ٤/٥ = ٢٤ N. الاحتكاك الحدّي: μ = ١٢ / ٢٤ = ٠٫٥.
الأرض تحت ساق المثال معامل احتكاكها μ = ٠٫٦. هل الساق على وشك الانزلاق؟ الاحتكاك اللازم ١٢ N. وأكبر ما تعطيه الأرض μN = ٠٫٦ × ٢٤ = ١٤٫٤ N. بما أن ١٢ ≤ ١٤٫٤ فالساق لا تنزلق: هي في اتزان غير حدّي والاحتكاك الموجود فعلًا (١٢ N) أقل من الحد الأقصى.
Class activity
أسند مسطرة إلى حافة كتاب سميك (هو «الوتد») وطرفها السفلي على غطاء مكتب خشن. اجعل المسطرة أكثر انحدارًا أو أقل وانظر متى يبدأ طرفها السفلي بالانزلاق. أيهما أقرب إلى الانزلاق: مسطرة شديدة الانحدار أم مسطرة مائلة قليلًا؟ هل تغيّر قطعة نقدية موضوعة على المسطرة زاوية الانزلاق؟ أبقِ كل شيء على المكتب.
Practice
1
خذ الوضع نفسه في المثال (ساق ٢٫٥ m ووتد ارتفاعه ١٫٢ m وsin θ = ٣/٥) لكن وزن الساق ٣٠ N. أوجد R₂ وN وF وμ.
٢R₂ = ٣٠ × ١٫٢٥ × ٠٫٨ = ٣٠ فيكون R₂ = ١٥ N. F = ١٥ × ٠٫٦ = ٩ N وN = ٣٠ − ١٥ × ٠٫٨ = ١٨ N وμ = ٩ / ١٨ = ٠٫٥: المعامل نفسه كما قبل لأن كل القوى متناسبة مع الوزن.
2
الساق ٣٠ N في السؤال السابق ترتكز على وتد أخفض ارتفاعه ٠٫٩ m وبالزاوية نفسها. أوجد R₂ وN وF وμ.
