Week 8 · Equilibrium of coplanar forces: the two conditions (zero resultant and zero moment), a board on two supports, and a rod on two strings · 3 lessons
3
قضيب معلق بخيطين رأسيين: أين نعلّق ثقلًا لتصبح قوة الشد في أحد الخيطين ضعف الأخرى؟
Applied Mathematics Sec 3 Term 1, Unit 2, Lesson 2, Part 1
Goalأوجد قوتي الشد في خيطين رأسيين يحملان قضيبًا، وأحدد أين نعلّق ثقلًا لتصبح إحدى قوتي الشد مضاعفًا معلومًا للأخرى.
New words
الشد · قوة سحب الخيط للقضيب على امتداد الخيطخيطان رأسيان · قوتا الشد متوازيتان إلى أعلى تمامًا مثل ردّي فعل الحاملين
Explanation
قضيب معلق بخيطين رأسيين هو المسألة نفسها لقضيب على حاملين لكن قوتي الشد TA وTB تحلان محل ردّي الفعل: تشدان إلى أعلى بينما تشد الأثقال إلى أسفل. نستعمل المعادلتين نفسيهما: TA + TB = الوزن الكلي ومعادلة عزوم حول أحد الطرفين. إذا قال السؤال «إحدى قوتي الشد ضعف الأخرى» نكتب TA = ٢ TB ونستعمل المعادلة الأولى لنجد قوتي الشد من الوزن الكلي، ثم معادلة العزوم لنجد المسافة المجهولة. يجب أن يتدلى الثقل أقرب إلى الخيط الذي يحمل أكثر. وقوتا الشد موجبتان دائمًا: إذا أعطت المعادلة شدًّا سالبًا فمعنى ذلك أن الخيط يجب أن يدفع وهذا مستحيل فيميل القضيب.
Worked examples
قضيب منتظم AB طوله ١٠٠ cm ووزنه ٥٠ N معلق أفقيًا بخيطين رأسيين عند A وB. يتدلى ثقل ١٠٠ N على بعد x cm من A. أوجد x إذا كانت TA = ٢ TB. الاتجاه إلى أعلى موجب والدوران عكس عقارب الساعة موجب. الوزن الكلي ٥٠ + ١٠٠ = ١٥٠ N فيكون TB = ٥٠ N وTA = ١٠٠ N. العزوم حول A: ١٠٠ TB − ٥٠ × ٥٠ − ١٠٠x = ٠ أي ٥٠٠٠ − ٢٥٠٠ = ١٠٠x وx = ٢٥ cm. يتدلى الثقل أقرب إلى A وهو الخيط الأكبر شدًّا.
قضيب منتظم AB طوله ١٢٠ cm ووزنه ٦٠ N معلق أفقيًا بخيطين رأسيين عند A وB. يتدلى حمل ٩٠ N على بعد y cm من B. أوجد y عندما TB = ٣ TA. الاتجاه إلى أعلى موجب والدوران عكس عقارب الساعة موجب. الوزن الكلي ١٥٠ N فيكون TA = ٣٧٫٥ N وTB = ١١٢٫٥ N. العزوم حول A: ١٢٠ × ١١٢٫٥ − ٦٠ × ٦٠ − ٩٠ × (١٢٠ − y) = ٠ فيكون ١٣٥٠٠ − ٣٦٠٠ − ١٠٨٠٠ + ٩٠y = ٠ وy = ١٠ cm من B.
Class activity
علّق مسطرة خفيفة أفقيًا بعروتين من الخيط، واحدة عند كل طرف، يمسكهما صديقان على ارتفاع واحد. ثبّت مبراة قلم (حمل خفيف) على المسطرة قرب أحد الطرفين ثم قرب المنتصف. يشعر الصديق الأقرب إلى الحمل بشد أكبر في الخيط. استعمل أحمالًا خفيفة فقط (أقل من ٠٫٢ kg) وأبعد يديك عن المسطرة.
Practice
1
قضيب منتظم AB طوله ٦٠ cm ووزنه ٤٠ N معلق أفقيًا بخيطين رأسيين عند A وB. يتدلى ثقل ٨٠ N على بعد ١٥ cm من A. الاتجاه إلى أعلى موجب والدوران عكس عقارب الساعة موجب. أوجد TA وTB.
لوح منتظم لعامل تنظيف وزنه ٣٠٠ N وطوله ٦ m معلق أفقيًا بحبلين رأسيين عند طرفيه. يقف رجل وزنه ٦٠٠ N على بعد ١٫٥ m من أحد الطرفين. الاتجاه إلى أعلى موجب والدوران عكس عقارب الساعة موجب. أوجد الشد في كل حبل.
ليكن الرجل على بعد ١٫٥ m من الطرف A. حول B: ٦ TA = ٣٠٠ × ٣ + ٦٠٠ × ٤٫٥ = ٣٦٠٠ فيكون TA = ٦٠٠ N (الحبل الأقرب إلى الرجل) وTB = ٩٠٠ − ٦٠٠ = ٣٠٠ N.
4
قضيب منتظم AB طوله ٨٠ cm ووزنه ٣٠ N معلق أفقيًا بخيطين رأسيين عند A وعند C حيث AC = ٦٠ cm. لا يوجد حمل آخر. الاتجاه إلى أعلى موجب والدوران عكس عقارب الساعة موجب. أوجد TA وTC.
يؤثر الوزن على بعد ٤٠ cm من A أي ٢٠ cm يسار C. حول C: −٦٠ TA + ٢٠ × ٣٠ = ٠ فيكون TA = ١٠ N وTC = ٣٠ − ١٠ = ٢٠ N.
5
قضيب منتظم وزنه ٥٠ N معلق أفقيًا بخيطين رأسيين عند طرفيه. يتدلى ثقل w عند منتصفه. بيّن أن قوتي الشد تبقيان متساويتين مهما كانت w.
الوزنان يؤثران عند المنتصف فبالتماثل تعطي العزوم حول المنتصف TA = TB ومن TA + TB = ٥٠ + w نجد TA = TB = (٥٠ + w) / ٢.
