Applied Mathematics Sec 3 Term 1, Unit 1, Lesson 1, Part 1
Goalأوجد عزم قوة من الإحداثيات بالقانون M = x Fy − y Fx، وأفهم إشارته، وأستخرج الذراع من L = |M| / F.
New words
موضع (x, y) · إحداثيات نقطة على خط عمل القوة مقيسة من مركز العزم Oالمركبتان (Fx, Fy) · جزءا القوة على محور x ومحور y وتُكتب F = Fx i + Fy jالقياس الجبري للعزم · العدد ذو الإشارة M: موجب عكس عقارب الساعة وسالب في اتجاهها، و|M| مقداره
Explanation
رسم الذراع ليس سهلًا دائمًا فنستعمل الإحداثيات. ضع مركز العزم عند نقطة الأصل O. تؤثر قوة F = (Fx, Fy) عند نقطة (x, y) من خط عملها. حلّلها إلى جزأيها. الجزء الرأسي Fy يؤثر على بعد أفقي x من O فذراعه x وعزمه x Fy: قوة إلى أعلى على يمين O تدير عكس عقارب الساعة (موجب)، وقوة إلى أعلى على يسار O تدير في اتجاهها (سالب)، وإشارة x تفعل ذلك تمامًا. والجزء الأفقي Fx يؤثر على ارتفاع y فوق O، والقوة نحو اليمين فوق O تدير في اتجاه عقارب الساعة، فعزمه −y Fx. وبالجمع نحصل على M = x Fy − y Fx. وهذا العدد موجب للدوران عكس عقارب الساعة وسالب للدوران في اتجاهها. ويمكنك التحقق من أن اختيار النقطة على خط العمل لا يهم: فإزاحة النقطة بمقدار t على امتداد القوة تغيّر M بمقدار t Fx Fy − t Fy Fx = ٠. وإذا كان مركز العزم نقطة أخرى B فاستبدل (x, y) بموضع نقطة التأثير مقيسًا من B أي A − B. وبعد معرفة M يكون الذراع L = |M| / F حيث F = √(Fx² + Fy²). (وسيكتب مقرر الرياضيات البحتة هذا العدد نفسه قريبًا بالصورة r × F، ولا تحتاج إليها الآن.)
Worked examples
تؤثر القوة F = (−٤, ٣) N عند A(٣, ٢). العزم بالنسبة لـO: M = x Fy − y Fx = ٣ × ٣ − ٢ × (−٤) = ٩ + ٨ = ١٧ N·m وهو موجب فالدوران عكس عقارب الساعة. والقوة √(١٦ + ٩) = ٥ N فالذراع L = ١٧ / ٥ = ٣٫٤ m.
تؤثر القوة F = (٦, −٨) N عند A(٣, ٢)؛ أوجد عزمها بالنسبة لـB(−١, ١). موضع A مقيسًا من B هو A − B = (٤, ١). M = ٤ × (−٨) − ١ × ٦ = −٣٢ − ٦ = −٣٨ N·m وهو سالب فالدوران في اتجاه عقارب الساعة. والقوة ١٠ N فالذراع ٣٨ / ١٠ = ٣٫٨ m.
تؤثر قوة (−٣, k) N عند (٢, ٥) وعزمها بالنسبة لـO يساوي صفرًا. إذن ٢ × k − ٥ × (−٣) = ٢k + ١٥ = ٠ ومنه k = −٧٫٥. تحقق: القوة (−٣, −٧٫٥) توازي الموضع (٢, ٥) فيمر خط عملها بالنقطة O.
Class activity
على ورق مربعات علّم النقطة O ونقطة A إحداثياتها أعداد صحيحة. ارسم سهم قوة من A بمركبتين تختارهما، وقس بالمسطرة البعد العمودي من O على خطه. اضرب في طول السهم وقارن النتيجة بالعدد x Fy − y Fx المحسوب من الشبكة. يتفقان حتى حدود خطأ القياس.
Practice
1
تؤثر القوة F = (٢, ٥) N عند (٤, ١). أوجد عزمها بالنسبة لـO (عكس عقارب الساعة موجب).
