Week 11 · Couples: two equal opposite forces, the moment of a couple, its independence of the point, and equilibrium under several couples · 3 lessons
3
اتزان جسم تحت تأثير عدة ازدواجات: مجموع القياسات الجبرية لعزومها يساوي صفرًا
Applied Mathematics Sec 3 Term 1, Unit 3, Lesson 1, Part 1
Goalبيّن أن جسمًا تؤثر فيه عدة ازدواجات في مستوٍ واحد يكون متزنًا عندما يساوي مجموع عزومها بإشاراتها صفرًا، واستعمل ذلك لإيجاد قوة أو ذراع مجهولين.
New words
مجموع العزوم · ΣM = M₁ + M₂ + … مع عكس عقارب الساعة موجب وفي اتجاهها سالباتزان الازدواجات · يبقى الجسم ساكنًا عندما ΣM = ٠
Explanation
لكل ازدواج محصلة تساوي صفرًا، فمجموع القوى في أي عدد من الازدواجات صفر، ولا يبقى ما قد يدير الجسم إلا العزوم، وهي تُجمع جمعًا بسيطًا (عزم الازدواج واحد حول أي نقطة فيمكن أخذها كلها حول نقطة واحدة). لذلك يكون الجسم الصلب الذي تؤثر فيه ازدواجات في مستوٍ واحد متزنًا عندما M₁ + M₂ + … + Mₙ = ٠ بإشاراتها. الطريقة: (١) أعطِ كل ازدواج إشارته من اتجاه دورانه، عكس عقارب الساعة + وفي اتجاهها −؛ (٢) اكتب F × L لكل منها؛ (٣) ضع المجموع مساويًا صفرًا واحسب القوة أو الذراع المجهولين. لاحظ أن الازدواجات لا يوازنها إلا ازدواجات: قوة واحدة مع الازدواجات تترك محصلة ويتحرك الجسم.
في المستطيل ABCD الضلع AB = ٤٠ cm وBC = ٣٠ cm. قوتان مقدار كل منهما ١٠ N تؤثران على AB (من A إلى B) وعلى CD (من C إلى D). وقوتان مقدار كل منهما Q نيوتن تؤثران على CB (من C إلى B) وعلى AD (من A إلى D). أوجد Q للاتزان (عكس عقارب الساعة موجب). الحل: القوتان على AB وCD تدفعان الضلع السفلي إلى اليمين والعلوي إلى اليسار: عكس عقارب الساعة والذراع BC = ٣٠ cm فيكون M₁ = +١٠ × ٣٠ = +٣٠٠ N·cm. والقوتان على CB وAD تدفعان الضلع الأيمن إلى أسفل والأيسر إلى أعلى: في اتجاه عقارب الساعة والذراع AB = ٤٠ cm فيكون M₂ = −٤٠Q. للاتزان ٣٠٠ − ٤٠Q = ٠ فيكون Q = ٧٫٥ N.
Class activity
ضع مسطرة على طاولة. اضغط برفق بإصبعين على جانبي منتصف المسطرة في اتجاهين متضادين لتحاول إدارتها: هذا ازدواج. أضف ازدواجًا ثانيًا يحاول إدارتها في الاتجاه المعاكس (بإصبعي اليد الأخرى) وجرّب لتعرف أي حجم يجب أن يكون للازدواج الثاني كي لا تدور المسطرة. ماذا يحدث إذا قربت الإصبعين أو باعدت بينهما؟
Practice
1
على لوح ازدواجان: قوتاه ٣٠ N وذراعه ٠٫٢ m عكس عقارب الساعة، وقوتا الآخر ٢٠ N وذراعه ٠٫١٥ m في اتجاه عقارب الساعة. أوجد العزم الكلي (عكس عقارب الساعة موجب). هل اللوح متزن؟
ΣM = ٣٠ × ٠٫٢ − ٢٠ × ٠٫١٥ = ٦ − ٣ = +٣ N·m. لا يساوي صفرًا فاللوح غير متزن ويدور عكس عقارب الساعة.
2
أضيف إلى اللوح في السؤال ١ ازدواج ثالث قوتاه ٥ N ليتزن. أوجد ذراعه واتجاه دورانه.
يجب أن يكون عزمه −٣ N·m: في اتجاه عقارب الساعة و٥ × L = ٣ فيكون L = ٠٫٦ m.
3
ثلاثة ازدواجات على لوح (عكس عقارب الساعة موجب): قوتا الأول ٨ N وذراعه ١٫٥ m عكس عقارب الساعة، والثاني F وذراعه ٠٫٢٥ m في اتجاه عقارب الساعة، والثالث ٦ N وذراعه ١ m في اتجاه عقارب الساعة. أوجد F للاتزان.
هل تستطيع قوة وحيدة مقدارها ١٠ N أن توازن ازدواجًا؟ علّل.
لا. محصلة الازدواج صفر فتصبح المحصلة مع القوة الإضافية ١٠ N لا صفرًا. لا يوازن الازدواج إلا ازدواج آخر.
5
في المستطيل ABCD الضلع AB = ٥٠ cm وBC = ٢٠ cm. قوتان مقدار كل منهما ٦ N من A إلى B ومن C إلى D (ازدواج عكس عقارب الساعة)، وقوتان مقدار كل منهما P نيوتن من C إلى B ومن A إلى D. أوجد P للاتزان (عكس عقارب الساعة موجب).
