Week 1 · Statics prerequisites (Sec 2 friction revisited): smooth and rough surfaces, static friction and its limit, the coefficient of friction, kinetic friction, the resultant reaction and the angle of friction, equilibrium of a body on a rough horizontal plane and on a rough inclined plane · 3 lessons
3
جسم على مستوى خشن: قوة مائلة على مستوى أفقي تغيّر رد الفعل العمودي، وجسم على مستوى مائل تكون عنده λ = θ عند وشك الانزلاق
Applied Mathematics Sec 3 Term 1, Statics prerequisites
Goalأحسب N وF لجسم تؤثر فيه قوة مائلة على مستوى أفقي، ولجسم على مستوى مائل خشن، ومنها حالة λ = θ.
New words
قوة مائلة · قوة ساحبة تصنع زاوية θ فوق الأفقي: مركبتها P cos θ على امتداد الأرض وP sin θ إلى أعلىمستوى مائل · سطح مستوٍ يميل بزاوية θ على الأفقيخط أكبر ميل · الخط المستقيم الصاعد (أو الهابط) على المستوى عموديًا على خطوطه الأفقية
Explanation
مستوى أفقي وقوة ساحبة مائلة. القوة P التي تصنع زاوية θ فوق الأفقي تتحلل إلى P cos θ على امتداد الأرض وP sin θ إلى أعلى. والجزء الرأسي يساعد على حمل الوزن فيقل رد الفعل العمودي: N = W − P sin θ. وأفقيًا يتزن الاحتكاك مع الجزء الآخر: F = P cos θ. فإذا كان الجسم على وشك الانزلاق كان F = μN أي P cos θ = μ(W − P sin θ) ومنه P = μW / (cos θ + μ sin θ). أما الدفع بزاوية تحت الأفقي فيفعل العكس: N = W + P sin θ. مستوى مائل. جسم ساكن على مستوى خشن يميل بزاوية θ تؤثر فيه قوتان فقط هما الوزن W ورد الفعل المحصل R′، فتساوي R′ الوزن W رأسيًا إلى أعلى. وبتحليل W على امتداد المستوى وعموديًا عليه يكون الاحتكاك على امتداد خط أكبر ميل إلى أعلى F = W sin θ ورد الفعل العمودي N = W cos θ. وكلما زاد ميل المستوى زاد الاحتكاك اللازم بمقدار tan θ. ويكون الجسم على وشك الانزلاق عندما F = μN أي tan θ = μ فتكون θ = λ: يبقى الجسم ساكنًا ما دامت θ لا تزيد على زاوية الاحتكاك.
Worked examples
حقيبة وزنها ٢٠٠ N تُسحب على أرض خشنة بمقبض يصنع ٣٠° فوق الأفقي وقوة P = ٨٠ N، وهي على وشك الانزلاق. N = ٢٠٠ − ٨٠ sin ٣٠° = ١٦٠ N وF = ٨٠ cos ٣٠° ≈ ٦٩٫٢٨ N فيكون μ = F/N ≈ ٠٫٤٣٣.
صندوق وزنه ٢٠٠ N على أرض μ = ٠٫٤. السحب الأفقي يحتاج ٠٫٤ × ٢٠٠ = ٨٠ N. أما السحب بزاوية ٣٠° فوق الأفقي فيحتاج P = ٠٫٤ × ٢٠٠ / (cos ٣٠° + ٠٫٤ sin ٣٠°) ≈ ٧٥٫٠٥ N وهو أقل قليلًا لأن القوة ترفع الصندوق أيضًا. وعند ٧٠° يلزم نحو ١١١٫٤ N وهو أكبر بكثير: فالسحب الشديد الميل يرفع أكثر مما يجرّ. وأفضل زاوية زاوية معتدلة.
صندوق وزنه ٥٠ N على لوح يميل ٢٠°. F = ٥٠ sin ٢٠° ≈ ١٧٫١ N إلى أعلى المستوى وN = ٥٠ cos ٢٠° ≈ ٤٦٫٩٨ N. ويجب أن يستطيع السطحان إعطاء F/N = tan ٢٠° ≈ ٠٫٣٦٤ فلا يقل μ عن ذلك. فإذا بدأ الصندوق ينزلق عندما يبلغ اللوح ٢٨° كان μ = tan ٢٨° ≈ ٠٫٥٣٢ وλ = ٢٨°.
Class activity
ضع كتابًا على لوح أملس ممسوك فوق المكتب بارتفاع قليل (أقل من ٥٠ cm وعلى المكتب مباشرة). أمِل اللوح ببطء شديد حتى يبدأ الكتاب بالانزلاق، وقس ارتفاع الطرف المرفوع والمسافة الأفقية: يساوي tan θ الارتفاع مقسومًا على المسافة الأفقية. كرر التجربة بعد وضع ورقة تحت الكتاب وقارن.
Practice
1
كتلة وزنها ١٢٠ N تؤثر فيها قوة ساحبة ٤٠ N بزاوية ٣٠° فوق الأفقي. أوجد N.
N = ١٢٠ − ٤٠ sin ٣٠° = ١٢٠ − ٢٠ = ١٠٠ N.
2
صندوق على مستوى خشن يكون على وشك الانزلاق عندما يميل المستوى ٣٥°. أوجد μ وλ.
λ = ٣٥° وμ = tan ٣٥° ≈ ٠٫٧.
3
قوتان أفقيتان ٣٠ N و٤٠ N بينهما زاوية قائمة تجعلان كتلة وزنها ١٠٠ N على وشك الحركة. أوجد μ وλ.
